[論文レビュー] Positive spectrahedrons: Geometric properties, Invariance principles and Pseudorandom generators

Srinivasan Arunachalam, Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、ブール立方体上での正のスペクトラヒドロンの交差を対象とする明示的擬似乱数生成子（PRG）を導入し、シード長 $\mathsf{poly}(\mathsf{log} \, k, \mathsf{log} \, n, M, 1/\mathsf{δ})$ を達成する。一般化されたリンデバーグ法を用いた新しい不変性原理を確立し、ノイズ感度やガウス的表面積などの幾何的性質を導出し、学習理論、不均衡理論、構造的多項式しきい値関数のためのPRGへの応用を可能にする。

ABSTRACT

In a recent work, O'Donnell, Servedio and Tan (STOC 2019) gave explicit pseudorandom generators (PRGs) for arbitrary $m$-facet polytopes in $n$ variables with seed length poly-logarithmic in $m,n$, concluding a sequence of works in the last decade, that was started by Diakonikolas, Gopalan, Jaiswal, Servedio, Viola (SICOMP 2010) and Meka, Zuckerman (SICOMP 2013) for fooling linear and polynomial threshold functions, respectively. In this work, we consider a natural extension of PRGs for intersections of positive spectrahedrons. A positive spectrahedron is a Boolean function $f(x)=[x_1A^1+\cdots +x_nA^n \preceq B]$ where the $A^i$s are $k imes k$ positive semidefinite matrices. We construct explicit PRGs that $\delta$-fool regular width-$M$ positive spectrahedrons (i.e., when none of the $A^i$s are dominant) over the Boolean space with seed length $ extsf{poly}(\log k,\log n, M, 1/\delta)$. Our main technical contributions are the following: We first prove an invariance principle for positive spectrahedrons via the well-known Lindeberg method. As far as we are aware such a generalization of the Lindeberg method was unknown. Second, we prove various geometric properties of positive spectrahedrons such as their noise sensitivity, Gaussian surface area and a Littlewood-Offord theorem for positive spectrahedrons. Using these results, we give applications for constructing PRGs for positive spectrahedrons, learning theory, discrepancy sets for positive spectrahedrons (over the Boolean cube) and PRGs for intersections of structured polynomial threshold functions.

研究の動機と目的

• 多面体から正のスペクトラヒドロンの交差へ、半定値制約で定義されるブール関数のクラスへPRGの構築を拡張すること。
• 一般化されたリンデバーグ法を用いた正のスペクトラヒドロンのための一般的不変性原理の開発。
• 正のスペクトラヒドロン固有の重要な幾何的性質—ノイズ感度、ガウス的表面積、リトルウッド＝オッフォード定理—の同定。
• これらの結果を用いて、構造的多項式しきい値関数の交差のためのPRGを構築し、ブール立方体上での不均衡集合を設計すること。

提案手法

• 行列値関数へ拡張された古典的手法を適用する一般化されたリンデバーグ法を用いて、正のスペクトラヒドロンのための不変性原理を証明する。
• 行列集中と幾何的技法を用いて、正のスペクトラヒドロンのノイズ感度とガウス的表面積を分析する。
• ブール入力下での正定値行列の線形結合に対するリトルウッド＝オッフォード型定理を確立する。
• 得られた幾何的・確率的性質を用いて、正則な幅$M$の正のスペクトラヒドロンのための明示的PRGを構築し、シード長を $\mathsf{poly}(\mathsf{log} \, k, \mathsf{log} \, n, M, 1/\mathsf{δ})$ に保証する。
• 不変性原理と幾何的境界を用いて、構造的多項式しきい値関数の交差のためのPRGを導出する。
• 正のスペクトラヒドロンのスペクトル構造を活用し、$\mathsf{δ}$-fooling 条件下での擬似乱数性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたリンデバーグ法を用いて、正のスペクトラヒドロンのための不変性原理を確立できるか？
• RQ2 正のスペクトラヒドロンのノイズ感度とガウス的表面積は何か？ そしてこれらは擬似乱数性とどのように関係するか？
• RQ3 ブール立方体上での正定値行列の線形結合に対して、リトルウッド＝オッフォード定理を定式化できるか？
• RQ4 正則な幅$M$の正のスペクトラヒドロンを $\mathsf{δ}$-fool するためのPRGに必要な最小のシード長は何か？
• RQ5 正のスペクトラヒドロンの幾何的・確率的性質をどのように活用して、構造的多項式しきい値関数の交差のためのPRGを構築できるか？

主な発見

• 従来未知であった、リンデバーグ法の新規適応を用いた正のスペクトラヒドロンのための不変性原理が確立された。
• 正のスペクトラヒドロンのノイズ感度は、その幅と次元の関数として有界であり、擬似乱数性の解析を可能にする。
• ブール入力下での正定値行列の線形結合に対して、リトルウッド＝オッフォード定理が証明され、集中性が示された。
• 正のスペクトラヒドロンのガウス的表面積は、その幅と行列次元の関数として有界であり、擬似乱数性の保証に寄与する。
• 正則な幅$M$の正のスペクトラヒドロンのための明示的PRGが、シード長 $\mathsf{poly}(\mathsf{log} \, k, \mathsf{log} \, n, M, 1/\mathsf{δ})$ を用いて構築され、$\mathsf{δ}$-fooling を達成した。
• 学習理論、ブール立方体上での不均衡集合、構造的多項式しきい値関数の交差のためのPRGへの応用が示された。