[論文レビュー] Positively ratioed representations

Giuseppe Martone, Tengren Zhang|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトな単純実代数群への表面群の準同型について、関連する交比に正則性条件を課した$[P]$-Anosov表現の新規クラス—正比された表現—を導入する。geodesic currentを用いて、すべての此类の表現に対して一様な系統的不等式が成り立つwell-definedな長さ関数を確立する。これは古典的なテイヒミュラー理論の結果を一般化し、高ランクの設定へと拡張する。

ABSTRACT

Let S be a closed orientable surface of genus at least 2 and let G be a semisimple real algebraic group of non-compact type. We consider a class of representations from the fundamental group of S to G called positively ratioed representations. These are Anosov representations with the additional condition that certain associated cross ratios satisfy a positivity property. Examples of such representations include Hitchin representations and maximal representations. Using geodesic currents, we show that the corresponding length functions for these positively ratioed representations are well-behaved. In particular, we prove a systolic inequality that holds for all such positively ratioed representations.

研究の動機と目的

• 正比された表現と呼ばれる、Hitchin表現や最大表現を一般化する新しい表現クラスの定義と研究を行う。
• 高ランクの単純群への一般化において、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ からの古典的な長さ関数と交差カレント形式主義を拡張する。
• すべての此类の表現に対して成り立つ一様な系統的不等式を確立し、テイヒミュラー理論の結果を一般化する。
• $[P]$-Anosov表現に対して一般にグローバルカレントが存在しない状況において、geodesic currentを長さ関数を分析するための道具として用いる。
• 高ランクリー群における表現の漸近的挙動と幾何的不変量を研究するための枠組みを提供する。

提案手法

• $[P]$-正比された表現の概念を導入する。これは、制限された基本重みを用いて定義される関連する交比における正則性を備えた$[P]$-Anosov表現である。
• Bonahonらの研究を活用し、geodesic currentの空間$\mathcal{C}(S)$上で連続的かつ双線形な交差ペアリングを定義する。
• $\alpha \in \theta$ に対して、すべての$c \in \mathcal{C}\mathcal{G}(S)$ に対して $i(\mu^\rho_\alpha, c) = \ell^\rho_\alpha(c)$ を満たすような一意なgeodesic current $\mu^\rho_\alpha$ が存在することを証明する。これは双曲的交差カレントを一般化する。
• このようなカレントの存在を用いて、長さ関数に関する問いをカレントの幾何的性質に還元する。
• スターリングの近似と漸近的解析を適用し、長さが有界な閉測地線の個数を数える際に生じる二項係数を制御する。
• Q, F, K, Lを含む不等式を用いて、閉測地線の個数の成長に関する境界を導出し、一様な系統的不等式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 geodesic currentを用いて、$\mathrm{PSL}(2,\mathbb{R})$ を超えて$[P]$-Anosov表現の長さ関数を一般化できるか。
• RQ2 正比された表現の文脈において、長さが有界な閉測地線の個数の漸近的成長率は何か。
• RQ3 与えられた高ランクリー群において、すべての正比された表現に共通して成り立つ一様な系統的不等式は存在するか。
• RQ4 交比の正則性と関連するgeodesic currentの存在性および一意性との関係は何か。
• RQ5 長さの上限$T \to \infty$ のとき、比$\frac{F}{Q}$ の正確な漸近的挙動は何か。

主な発見

• 任意の$[P]$-正比された表現$\rho$ に対して、すべての$c \in \mathcal{C}\mathcal{G}(S)$ に対して $i(\mu^\rho_\alpha, c) = \ell^\rho_\alpha(c)$ を満たす一意なgeodesic current $\mu^\rho_\alpha$ が存在する。これは双曲的交差カレントを一般化する。
• すべての$c \in \mathcal{C}\mathcal{G}(S)$ に対して、$\ell^\rho_\alpha(c) \geq \frac{1}{D} \cdot \ell^\rho_{\mathrm{hyp}}(c)$ が成り立つ一様な系統的不等式が成立する。ここで$D$ は群とルート系に依存する正の実数である。
• 極限 $\limsup_{T \to \infty} \frac{F}{Q} = D$ が存在し、$\frac{1}{x_0}$ で上から有界である。ここで$x_0$ は $(1 + x)^a x = 1$ の唯一の正の解であり、$a = \lceil \frac{K}{L} - 1 \rceil$ である。
• 長さ$\leq T$ の閉測地線の個数の漸近的成長は、二項係数の推定を用いて制御され、$\limsup_{T \to \infty} \frac{K}{T} \log \binom{F + Q}{Q} \leq \log\left(1 + \frac{1}{x_0}\right) + 1$ の境界が得られる。
• 解析により、$\liminf_{T \to \infty} \frac{Q}{F} = 0$ かつ $\limsup_{T \to \infty} \frac{Q}{F} = \infty$ が同時に成立することは不可能であり、$D$ が有限かつ有界でない限り矛盾が生じる。
• 二項係数の漸近的制御と長さ関数の正則性および成長性の性質を組み合わせることで、一様な系統的不等式が確立される。