[論文レビュー] Positivity criteria for log canonical divisors and hyperbolicity

Steven Lu, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、単純な正則交わりを持つ除集合を備えた複素射影的代数多様体 $X$ 上の対数 canonical 除集合 $K_X + D$ のネフ性および正則性の幾何的条件を、最小モデルプログラムと付随関係を用いて確立する。モリの双曲性またはブロディの双曲性の仮定のもとで、$K_X + D$ はネフ（弱い成分条件のもとで正則）であることが示され、ネイキ・モイシェゾンの基準を幾何的に鋭くし、低次元において深いつながりのない予想に依存せずにそれを検証する。

ABSTRACT

Let X be a complex projective variety and D a reduced divisor on X. Under a natural minimal condition on the singularities of the pair (X, D), which includes the case of smooth X with simple normal crossing D, we ask for geometric criteria guaranteeing various positivity conditions for the log-canonical divisor K_X+D. By adjunction and running the log minimal model program, natural to our setting, we obtain a geometric criterion for K_X+D to be numerically effective as well as a geometric version of the cone theorem, generalizing to the context of log pairs these results of Mori. A criterion for K_X+D to be pseudo-effective with mild hypothesis on D follows. We also obtain, assuming the abundance conjecture and the existence of rational curves on Calabi-Yau manifolds, an optimal geometric sharpening of the Nakai-Moishezon criterion for the ampleness of a divisor of the form K_X+D, a criterion verified under a canonical hyperbolicity assumption on (X,D). Without these conjectures, we verify this ampleness criterion with assumptions on the number of ample and non ample components of D.

研究の動機と目的

• 複素射影的代数多様体 $X$ と単純な正則交わりを持つ除集合 $D$ を備えた場合、対数 canonical 除集合 $K_X + D$ の正則性（ネフ、擬正則、正則）を保証する幾何的基準を確立すること。
• 双曲性の仮定のもとで、錐定理の幾何的版および $K_X + D$ の正則性に対する鋭くされたネイキ・モイシェゾンの基準を提供すること。
• 次元2および3において、アバンダント予想やカバリ・ヤウ多様体上の有理曲線の存在を仮定せずに、正則性基準を検証すること。
• 特に $D$ の層にかかわる関係で、$K_X + D$-非負性を破る極小有理曲線の構造を同定すること。

提案手法

• 次元に関する帰納法を用いた最小モデルプログラム（MMP）の応用により、付随関係を用いて正則性の問題を低次元のケースに還元する。
• $\mathcal{D}$-有理曲線、$\mathcal{D}$-コンパクト多様体、および $D$ の層における $\mathcal{D}$-有理曲線を定義・分析し、$\overline{\operatorname{NE}}(X)$ の極小線を分類する。
• canonical バンドルの公式と対数 canonical 特異点論を適用し、特に [12] の対数 canonical 特異点およびその解消に関する結果を用いる。
• 除集合 $D$ の層における有理曲線 $\ell$ に幾何的制約を課し、$\ell \cdot (K_X + D) \in \{1, 2, \dots, 2n\}$ であることを示す。特に $\ell$ が $\mathcal{D}$-コンパクトでない場合、等号が成立する。
• 最小解消 $\eta: X' \to X$ を用いて、$K_{X'} + D' + \Gamma' + E$ の振る舞いを解析し、付随関係と交差理論を用いて genus の上限を得る。
• dlt（除的対数終端）条件および対数 canonical 特異点を用いて、特異点付近での $\Gamma$ および $D$ の幾何を制御する。特に次元 ≤3 において有効である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影的多様体 $X$ および単純な正則交わりを持つ除集合 $D$ に対して、$K_X + D$ がネフであるための幾何的条件は何か？
• RQ2 特に双曲性の仮定のもとで、$K_X + D$ の正則性に関するネイキ・モイシェゾンの基準を幾何的に鋭くできるか？
• RQ3 $K_X + D$ がネフでない場合、モリの錐 $\overline{\operatorname{NE}}(X)$ の構造はどのようになるか？ また、どの有理曲線が極小線を生成するか？
• RQ4 除集合 $D$ の特異点および層の幾何が、$K_X + D$ の正則性にどのように影響するか？
• RQ5 次元2および3において、アバンダント予想やカバリ・ヤウ多様体上の有理曲線の存在を仮定せずに、$K_X + D$ の正則性を検証できるか？

主な発見

• モリの錐 $\overline{\operatorname{NE}}(X)$ の閉包は、$(K_X + D)$-非負部分と、高々可算個の極小 $\mathcal{D}$-有理曲線 $\ell_i$ によって生成され、$-\ell_i \cdot (K_X + D) \in \{1, 2, \dots, 2n\}$ を満たす。
• $(X,D)$ がモリの双曲的である場合、$K_X + D$ はネフである。これはネフ性の幾何的基準を提供する。
• $\dim X = n$ とし、$D$ が少なくとも $n-3$ 個の正則成分と $n-2$ 個の既約成分を持つ場合、$K_X + D$ は正則である。これは低次元における予想1.1の正則性部分を検証する。
• 次元 ≤3 において、$(X,D)$ がブロディの双曲的であり、$D + \Gamma$ が dlt で $\Gamma \geq 0$ であるならば、$K_X + D + \Gamma$ は $D + \lfloor \Gamma \rfloor$ のすべての既約成分に制限して正則除集合となる。
• 極小 $\mathcal{D}$-有理曲線 $\ell_i$ は、$\ell_i$ が $\mathcal{D}$-コンパクトでない場合、$-\ell_i \cdot (K_X + D) = 1$ を満たす。
• 本稿は、次元2および3において、アバンダント予想やカバリ・ヤウ多様体上の有理曲線の存在を仮定せずに、幾何的正則性基準を検証している。