[論文レビュー] Positivity for toric vector bundles

Milena Hering, Mircea Mustaţă+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、完全なトーリック多様体上のトーラス-equivariantベクトルバンドルのネフ性とアンピュルネスが、それらが同型な ℙ¹ に写像される不変曲線への制限を通じてテスト可能であることを確立している。主な貢献は、これらの曲線におけるラインバンドル和成分の次数を用いたネフおよびアンピュルトーリックバンドルの特徴付けであり、ラインバンドルに対する古典的結果を高ランクバンドルへと拡張している。

ABSTRACT

We show that an equivariant vector bundle on a complete toric variety is nef or ample if and only if its restriction to every invariant curve is nef or ample, respectively. Furthermore, we show that nef toric vector bundles have a nonvanishing global section at every point, and deduce that the underlying vector bundle is trivial if and only if its restriction to every invariant curve is trivial. We apply our methods and results to study, in particular, the vector bundles M_L that arise as the kernel of the evaluation map on sections of L, when L is an ample line bundle. We give examples of twists of such bundles that are ample but not globally generated.

研究の動機と目的

• トーリック多様体上のラインバンドルの正性基準を、高ランクトーリックベクトルバンドルへと拡張すること。
• トーラス-equivariantベクトルバンドルのネフ性およびアンピュルネスが、不変曲線上で検出可能かどうかを特定すること。
• 任意の点で非ゼログローバルセクションを持つネフトーリックベクトルバンドルの存在を調査すること。
• 不変曲線への制限を通じたトーリックベクトルバンドルの自明性の特徴付け。
• アンピュルラインバンドル $L$ の評価写像の核として得られるバンドル $\mathcal{M}_L$ の分析。

提案手法

• ペインが導入した、分岐線形的フィルトレーション族によるトーリックバンドルの分類を利用する。
• クリャチコの分類法を用い、コキャクアーライズト・ラティス上のフィルトレーションによるトーリックバンドルの分類を適用する。
• トーリックバンドル $\mathcal{E}$ の不変曲線 $C \cong \mathbb{P}^1$ への制限が、ラインバンドル $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(a_i)$ の直和として表せることを特徴付ける。
• すべての $a_i \geq 0$（それぞれ $a_i > 0$）であることと、$\mathcal{E}|_C$ がネフ（それぞれアンピュル）であることの必要十分条件を用いて、グローバル正性をテストする。
• フィルトレーション記述から導かれる、ネフトーリックバンドルが任意の点で非ゼログローバルセクションを持つことを利用する。
• この特徴付けを用いて、$\mathcal{M}_L = \ker(H^0(X,L) \otimes \mathcal{O}_X \to L)$（$L$ がアンピュル）を研究し、グローバル生成でないがアンピュルなバンドルの例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全なトーリック多様体上のトーラス-equivariantベクトルバンドルのネフ性およびアンピュルネスは、不変曲線への制限によって決定可能か？
• RQ2 ネフトーリックベクトルバンドルは、任意の点で非ゼログローバルセクションを持つだろうか？
• RQ3 トーリックベクトルバンドルが、すべての不変曲線への制限が自明であるときに限り自明であるだろうか？
• RQ4 グローバル生成でないがアンピュルなトーリックベクトルバンドルは存在するだろうか？
• RQ5 アンピュルラインバンドル $L$ の評価写像の核として定義されるバンドル $\mathcal{M}_L$ の正性特性は何か？

主な発見

• 完全なトーリック多様体上のトーラス-equivariantベクトルバンドル $\mathcal{E}$ は、すべての不変曲線への制限がネフ（それぞれアンピュル）であることと、同値である。
• 任意のネフトーリックバンドル $\mathcal{E}$ と任意の点 $x \in X$ に対して、$x$ でゼロでないグローバルセクションが存在する。
• トーリックベクトルバンドル $\mathcal{E}$ が（ベクトルバンドルとして）自明であることと、すべての不変曲線への制限が自明であることとは同値である。
• アンピュルラインバンドル $L$ に対応するバンドル $\mathcal{M}_L$ は、各不変曲線 $C$ において $\mathcal{M}_L|_C \cong \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}^{\oplus a} \oplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-1)^{\oplus b}$ と同型である。
• 任意のアンピュルラインバンドル $L'$ に対して、$\mathcal{M}_L \otimes L'$ はネフであるが、$\mathcal{M}_L$ 自体がグローバル生成でない場合がある。
• アンピュルだがグローバル生成でないトーリックベクトルバンドルの例が構成され、ランクが高くなるとアンピュルネスがグローバル生成性を含まないことが示された。