[論文レビュー] Positivity functions for curves on algebraic varieties

Brian Lehmann, Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、代数的多様体上の曲線類における2つの体積関数の間の深い双対性を確立する。すなわち、除数体積の極変換と重み付き移動関数の間の双対性である。すべての擬効果的曲線類においてこれらが一致することを証明し、Zariskiの表面分解を任意次元に一般化するとともに、Legendre-Fenchel双対性を用いて対数凹性予想を確認した。その応用は、曲線の移動的コーンおよび数え上げ幾何学に及ぶ。

ABSTRACT

This is the second part of our work on Zariski decomposition structures, where we compare two different volume type functions for curve classes. The first function is the polar transform of the volume for ample divisor classes. The second function captures the asymptotic geometry of curves analogously to the volume function for divisors. We prove that the two functions coincide, generalizing Zariski's classical result for surfaces to all varieties. Our result confirms the log concavity conjecture of the first named author for weighted mobility of curve classes in an unexpected way, via Legendre-Fenchel type transforms. We also give a number of applications to birational geometry, including a refined structure theorem for the movable cone of curves.

研究の動機と目的

• 任意次元の滑らかで射影的な多様体上の曲線類に対して、Zariski型の分解理論を確立すること。
• 曲線類の2つの体積関数——除数体積の極変換と重み付き移動関数——を比較すること。
• Legendre-Fenchel双対性を用いて、重み付き移動関数の対数凹性予想を確認すること。
• 移動的コーンの曲線に対する精密な構造定理を提供すること。
• Perrinの最適曲線に関する予想を、すべての滑らかで射影的な多様体上のすべての大きな曲線類へ一般化すること。

提案手法

• 大きな非特異な除数類の下での下界を用いて、曲線類の体積関数の極変換を定義する。
• 重み付き移動関数を、重複度付きの点の個数の上極限として定義し、一般の点が有効な曲線に漸近的に含まれる度合いを測定する。
• 曲線族の厳密な移動可能性を用いて、移動的コーンの内部における移動関数と重み付き移動関数を定義する。
• ブ lows-up における厳密な変換を含む、特異性のない幾何学的技法を用いて、異なるモデル上の類を関連付ける。
• Néron-Severi 群全体にわたる移動関数の連続性および斉次性の性質を用いる。
• Legendre-Fenchel双対性および凸解析を用いて、極変換と重み付き移動関数の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意次元の滑らかで射影的な多様体上のすべての擬効果的曲線類において、除数体積の極変換と重み付き移動関数が一致するか？
• RQ2 Legendre-Fenchel変換などの双対性技法を用いて、重み付き移動関数の対数凹性予想を確認できるか？
• RQ3 [Leh13b] で予想されたように、完全交差曲線類の移動関数はその自己交差数に等しいか？
• RQ4 体積関数の等価性を用いて、曲線の移動的コーンをより精緻に定式化できるか？
• RQ5 曲線における点の包含の漸近的挙動は、射影3次元空間におけるPerrinの最適曲線に関する予想を一般化するか？

主な発見

• すべての $\alpha \in \overline{\operatorname{Eff}}_1(X)$ に対して、曲線類の体積関数の極変換と重み付き移動関数が等しい：$\widehat{\operatorname{vol}}(\alpha) = \operatorname{wmob}(\alpha)$。
• 移動関数は $\widehat{\operatorname{vol}}(\alpha) \leq \operatorname{mob}(\alpha) \leq n!\,\widehat{\operatorname{vol}}(\alpha)$ を満たし、次元に依存する係数を除いてこれらが同値であることが示された。
• 予想1.4の下で、移動関数と極体積関数が一致する：$\operatorname{mob}(\alpha) = \widehat{\operatorname{vol}}(\alpha)$。
• 移動的コーンの内部において、$\mathfrak{M}(\alpha)$ は、$\alpha$ の被写像の上での $\widehat{\operatorname{vol}}(\phi^*\alpha)$ の極限として定義され、$\operatorname{wmob}_{\mathrm{mov}}(\alpha)$ に等しい。
• 曲線族の厳密な移動可能性を用いることで、曲線の移動的コーンの内部に連続的かつ斉次な移動関数を構成できる。
• 体積関数の等価性により、Legendre-Fenchel双対性を用いて重み付き移動関数の対数凹性予想が確認され、予期しない方法で解決された。