[論文レビュー] Positivity of relative canonical bundles for families of canonically polarized manifolds

Georg Schumacher|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 42被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、ファイバー上のケーラー＝エインシュタイン計量を用いて、正規化された標準的偏極多様体の族における相対 canonical バンドルの厳密な正性を確立する。これにより、相対 canonical バンドルに誘導されるヘルミート計量が厳密に正であることを証明する。さらに、一般化された Weil-Petersson 形式が正の-current として拡張可能であり、行列式ラインバンドルがコンパactification に拡張可能であることを示し、正規化された偏極多様体のモジュライ空間の準射影性に対する短い証明を提示する。

ABSTRACT

Given an effectively parameterized family of canonically polarized manifolds the Kaehler-Einstein metrics on the fibers induce a hermitian metric on the relative canonical bundle. We use a global elliptic equation to show that this metric is strictly positive. For degenerating families we obtain a singular hermitian metric. Main application is an analytic proof of the quasi-projectivity of the moduli space of canonically polarized manifolds. Further applications in arXiv:1002.4858v2.

研究の動機と目的

• ファイバー上のケーラー＝エインシュタイン計量によって誘導される相対 canonical バンドル上のヘルミート計量の厳密な正性を確立すること。
• この計量の曲率形式が、退化する族ですらもコンパクト化された全空間に正の閉じた-current として拡張可能であることを示すこと。
• ベース空間上の一般化された Weil-Petersson 形式が、モジュライ空間のコンパクト化に正の-current として拡張可能であり、これによりモジュライ空間上に正のラインバンドルを構成できることを証明すること。
• 行列式ラインバンドルとその Quillen 計量の拡張を用いて、正規化された偏極多様体のモジュライ空間の準射影性を示すこと。
• 曲率の拡張と Weil-Petersson 現象の正性を用いた、モジュライ空間の準射影性に対する新しい短い証明を提供すること。

提案手法

• 調和 Kodaira-Spencer 形式の局所的ノルムと相対 canonical バンドルの曲率との関係を示すグローバルな楕円型方程式を用いる。
• 退化族におけるケーラー＝エインシュタイン計量の挙動を制御するために、Yau の C⁰-推定を適用する。
• 正の-current を持つヘルミートラインバンドルの拡張定理を用い、行列式ラインバンドルがコンパクト化に拡張可能であることを可能にする。
• ファイバー統合を用いて、相対 canonical バンドルの曲率をベース空間上の一般化された Weil-Petersson 形式に関連付ける。
• 正の-current に対する Siu の分解定理を適用し、コンパクト化されたモジュライ空間における特異点を越えて Weil-Petersson 形式を拡張可能であることを示す。
• 行列式ラインバンドル上の Quillen 計量を用い、その曲率形式が相対 canonical バンドルのファイバー統合された第一チャーン類と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイバー上のケーラー＝エインシュタイン計量によって誘導される相対 canonical バンドル上のヘルミート計量は、厳密に正か？
• RQ2 この計量の曲率形式は、退化族においてもコンパクト化された全空間に正の-current として拡張可能か？
• RQ3 ベース空間上の一般化された Weil-Petersson 形式は、モジュライ空間のコンパクト化に正の-current として拡張可能か？
• RQ4 相対 canonical バンドルに関連する行列式ラインバンドルは、モジュライ空間のコンパクト化に拡張可能か？
• RQ5 Weil-Petersson 現象の正性とラインバンドルの拡張が、正規化された偏極多様体のモジュライ空間の準射影性を示唆するか？

主な発見

• ファイバー上のケーラー＝エインシュタイン計量によって誘導される相対 canonical バンドル ${\mathcal{K}}_{{\mathcal{X}}/S}$ 上のヘリミート計量は、厳密に正である。
• この計量の曲率形式は、コンパクト化された全空間 $\overline{{\mathcal{X}}}$ に、至高の解析的特異性をもつ正の閉じた-current として拡張可能である。
• ベース空間 $S$ 上の一般化された Weil-Petersson 形式は、コンパクト化されたモジュライ空間に正の閉じた-current として拡張可能である。
• 相対 canonical バンドルに関連する行列式ラインバンドルは、モジュライ空間のコンパクト化に拡張可能であり、至高の解析的特異性をもつ正のヘルミート計量を備えている。
• 正規化された偏極多様体のモジュライ空間 ${\mathcal{M}}_{\text{can}}$ の準射影性は、Weil-Petersson 現象の正性および行列式ラインバンドルの拡張特性から導かれる。
• コンパクトな曲線上の正規化された偏極多様体の表面の族に対して、非等長的性は、$g(C) > 1$ または少なくとも1つの特異ファイバーの存在を意味する。これは曲率推定とガウス＝ボンネの定理により示される。