[論文レビュー] Positivity-preserving and entropy-bounded discontinuous Galerkin method for the chemically reacting, compressible Euler equations. Part I: The one-dimensional case

Eric J. Ching, Ryan F. Johnson+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2022

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 99被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、密度、圧力、および種濃度の正値性を保証するとともに、非線形不安定性を抑えるためにエントロピーを制限する、多成分で化学反応を伴う圧縮性エーラー方程式に対する高次かつ完全保存型の不連続ガラーキン法を提示する。この手法は、線形スケーリングの制限子と対角行列ノルムの部分和分離型作用素によるエントロピー安定型時間積分を組み合わせ、1次元のテストケース（爆轟波や衝撃波管を含む）において最適収束性と頑健性を達成する。

ABSTRACT

In this paper, we develop a fully conservative, positivity-preserving, and entropy-bounded discontinuous Galerkin scheme for simulating the chemically reacting, compressible Euler equations with complex thermodynamics. The proposed formulation is an extension of the conservative, high-order numerical method previously developed by Johnson and Kercher [J. Comput. Phys., 423 (2020), 109826] that maintains pressure equilibrium between adjacent elements. In this first part of our two-part paper, we focus on the one-dimensional case. Our methodology is rooted in the minimum entropy principle satisfied by entropy solutions to the multicomponent, compressible Euler equations, which was proved by Gouasmi et al. [ESAIM: Math. Model. Numer. Anal., 54 (2020), 373--389] for nonreacting flows. We first show that the minimum entropy principle holds in the reacting case as well. Next, we introduce the ingredients required for the solution to have nonnegative species concentrations, positive density, positive pressure, and bounded entropy. We also discuss how to retain the aforementioned ability to preserve pressure equilibrium between elements. Operator splitting is employed to handle stiff chemical reactions. To guarantee satisfaction of the minimum entropy principle in the reaction step, we develop an entropy-stable discontinuous Galerkin method based on diagonal-norm summation-by-parts operators for solving ordinary differential equations. The developed formulation is used to compute canonical one-dimensional test cases, namely thermal-bubble advection, multicomponent shock-tube flow, and a moving hydrogen-oxygen detonation wave with detailed chemistry. We find that the enforcement of an entropy bound can considerably reduce the large-scale nonlinear instabilities that emerge when only the positivity property is enforced, to an even greater extent than in the monocomponent, calorically perfect case.

研究の動機と目的

• 複雑な熱力学を有する多成分で反応を伴う圧縮性流れの高次シミュレーションにおける非線形不安定性に対処する。
• 保存型スキームで一般的に生じる不適切な圧力振動や負の種濃度を克服する。
• 質量、全エネルギー、原子元素の保存を維持するとともに物理的境界を強制するフレームワークを開発する。
• きつい反応性流れの安定化のため、離散的最小エントロピー原理を満たすようにする。
• 以前の保存型DGスキームを拡張し、正値性とエントロピーの制限を組み込み、爆轟波や衝撃波の高次で頑健なシミュレーションを実現する。

提案手法

• 非反応性流れからの先行結果を拡張し、多成分で化学反応を伴う圧縮性エーラー方程式における最小エントロピー原理を証明する。
• 線形スケーリングの制限子を実装し、非負の種濃度、正の密度、正の圧力、および制限されたエントロピーを強制する。
• ジョンソンとケルチャー（2020）が提示した一貫したフラックス定式化を活用して、要素間での圧力平衡を保証する。
• ストラング分割法を用いて対流項ときつい化学源項を分離し、効率的な時間積分を可能にする。
• 対角行列ノルムの部分和分離型作用素とエントロピー保存型2点数値フラックスを用いて、ODEに対するエントロピー安定型DG法を開発する。
• 線形制限子で完全に抑圧されない小スケールの振動を減衰させるために、人工的粘性を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最小エントロピー原理を多成分で化学反応を伴う圧縮性エーラー方程式に拡張できるか？
• RQ2 線形スケーリングの制限子は、単成分系と比較して多成分反応系において正値性と制限されたエントロピーを維持するのにどの程度効果的か？
• RQ3 エントロピーの境界を強制することは、複雑な反応性流れの高次シミュレーションにおける大規模な非線形不安定性を顕著に低減するか？
• RQ4 提案手法は、1次元テストケースにおいて保存性と物理的境界を維持しながら、最適な高次収束性を達成できるか？
• RQ5 強いエントロピー勾配を示す領域では、局所的エントロピー境界とグローバルエントロピー境界の性能にどのような差が生じるか？

主な発見

• 化学反応を伴う多成分圧縮性エーラー方程式に対しても最小エントロピー原理が成立し、離散的安定性基準としての適用が正当化される。
• 正値性を保証する制限子は、衝撃波管および熱的バブル流れのシミュレーションでソルバーのクラッシュを防ぐが、追加の安定化がなければ大規模な振動が持続する。
• エントロピー制限子は単成分・等比熱的完全気体系よりも、熱的に完全な多成分系においてより顕著な不安定性低減効果を示し、相対的に大きな利点を有する。
• 爆轟波のような強い空間的エントロピー変化を示す領域では、局所的エントロピー境界がグローバル境界を上回る性能を示す。
• 滑らかな流れにおいては、熱的バブルの移流テストケースで最適な高次収束性が達成された。
• 質量、全エネルギー、原子元素の離散的保存が、水素-酸素爆轟と詳細な化学機構を含むすべてのテストケースで確認された。