[論文レビュー] Possible connections between whiskered categories and groupoids, many object Leibniz algebras, automorphism structures and local-to-global questions

Ronald Brown|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、加法的圏や群ガロア圏などの多数対象設定へ、交換子理論やリーブラケットに類似した構造を拡張するために、ひげ付き圏と群ガロア圏を導入する。これらの構造を立方体的枠組みに埋め込むことで、非ライブニッツ型の交換子理論を確立し、代数的およびホモトピー的応用（交差複体、2-交差モジュール、モノイドの可能性のある分解など）を可能にする。

ABSTRACT

We define the notion of whiskered categories and groupoids, showing that whiskered groupoids have a commutator theory. So also do whiskered $R$-categories, thus answering questions of what might be `commutative versions' of these theories. We relate these ideas to the theory of Leibniz algebras, but the commutator theory here does not satisfy the Leibniz identity. We also discuss potential applications and extensions, for example to resolutions of monoids.

研究の動機と目的

• 圏や群ガロア圏、特に加法的または多数対象の設定において、一貫性のある交換子理論やリーブラケット理論が欠如している問題に対処すること。
• 代数的およびホモトピー的推論を可能にする、ひげ付き圏および群ガロア圏における一般化された交換子構造を定義すること。
• ひげ付き構造、ライブニッツ代数、および自己同型群の間の関係を、特に交差複体の文脈で探ること。
• 立方体的高次元構造が、代数的トポロジーおよびホモトピー論における局所から大域への現象をモデル化する上で果たす役割を調査すること。
• 交差微分代数の圏におけるコフェイブルな置換を用いた、モノイドの分解のための枠組みを提唱すること。

提案手法

• 交換子操作をサポートする追加構造を備えた圏の拡張として、ひげ付き圏の概念を導入する。
• 立方体圏 $I^n$ からの関手を用いて、圏における正方形および立方体を定義し、高次元の合成と代数的操作を可能にする。
• 群ガロア圏における $\delta f$ 演算子と、加法的圏における $\Delta f$ 演算子を導入し、交換子に類似した振る舞いを捉える。
• 水平および垂直合成における $\delta$ および $\Delta$ の変換則を確立し、二重圏構造と整合することを示す。
• 立方体的枠組みを交差複体および2-交差モジュールに適用し、理論をホモトピー論および非アーベルコhomologyと結びつける。
• 接続を備えた立方体的 $\omega$-群ガロア圏を、自己同型構造および高次ホモトピー論の自然な設定として提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群ガロア圏や圏に対して、特に自然なリーブラケットが存在しない状況において、どのように交換子理論を定義できるか？
• RQ2 ひげ付き圏および群ガロア圏から生じる代数的およびホモトピー的構造は何か？ それらはライブニッツ代数とどのように関係するか？
• RQ3 立方体的高次元構造は、代数的トポロジーにおける局所から大域への性質の研究をどのように支援するか？
• RQ4 ひげ付き群ガロア圏およびその自己同型構造は、コフェイブルな置換を用いたモノイドの分解をモデル化するために利用可能か？
• RQ5 2-交差モジュールおよびホロノミーは、高次圏における非大域的交換法則を捉える上で果たす役割は何か？

主な発見

• ひげ付き群ガロア圏は、$\delta$-演算子を介して一貫した交換子理論を有し、合成の下で変換則を満たす。
• 加法的圏における $\Delta$-演算子は、ライブニッツ恒等式を満たさないが、加法的および合成的構造を尊重する非ライブニッツ型の括弧を生成する。
• 立方体的枠組みにより、高次元交換子の自然な記述が可能となり、二重および三重圏の構成を支援する。
• ひげ付き $R$-圏は、ライブニッツ恒等式を要求しないが、立方体的合成と整合するリーブラケットに類似した構造を支持する。
• 理論により、モノイドをその自明な拡張とホモトピー的に同値なコフェイブルな交差微分代数に置き換えることで、モノイドの分解への道筋が得られる。
• 接続を備えた立方体的 $\omega$-群ガロア圏は、自己同型論のためのモノイド的閉じた設定を提供し、グローブラ $\infty$-群ガロア圏の役割を一般化する。