[論文レビュー] The inner automorphism 3-group of a strict 2-group

David Roberts, Urs Schreiber|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、任意の厳密2群 G(2) に対して、内部自己同型 3群 INN₀(G(2)) を導入し、短完全系列 G(2) → INN₀(G(2)) → BG(2) に適合することを示している。この構成は、G(2) 上の恒等写像のマッピングコーンから生じ、INN₀(G(2)) が収縮可能であり、G(2)-2 bundle の普遍性を有することを示しており、古典的な INN(G) を用いた普遍 G-バンドルの一般化である。

ABSTRACT

Any group $G$ gives rise to a 2-group of inner automorphisms, $\mathrm{INN}(G)$. It is an old result by Segal that the nerve of this is the universal $G$-bundle. We discuss that, similarly, for every 2-group $G_{(2)}$ there is a 3-group $\mathrm{INN}(G_{(2)})$ and a slightly smaller 3-group $\mathrm{INN}_0(G_{(2)})$ of inner automorphisms. We describe these for $G_{(2)}$ any strict 2-group, discuss how $\mathrm{INN}_0(G_{(2)})$ can be understood as arising from the mapping cone of the identity on $G_{(2)}$ and show that its underlying 2-groupoid structure fits into a short exact sequence $G_{(2)} o \mathrm{INN}_0(G_{(2)}) o ΣG_{(2)}$. As a consequence, $\mathrm{INN}_0(G_{(2)})$ encodes the properties of the universal $G_{(2)}$ 2-bundle.

研究の動機と目的

• 任意の厳密2群 G(2) に対して、内部自己同型 3群 INN₀(G(2)) を定義し、その性質を特徴づけること。
• INN₀(G(2)) が 2群圏の短完全系列 G(2) → INN₀(G(2)) → BG(2) に適合することを確立すること。
• INN₀(G(2)) が収縮可能であり、G(2)-2バンドルの構造を普遍的に符号化することを示すこと。
• INN₀(G(2)) を G(2) 上の恒等写像のマッピングコーンに関連づけ、ホモトピー的解釈を提供すること。
• INN(G) を用いた古典的な普遍 G-バンドル構成を、3群を用いた高次のカテゴリカルバンドルへ一般化すること。

提案手法

• G(2) の恒等交叉モジュールのマッピングコーンから生じる 3群として INN₀(G(2)) を構成すること。
• 二重ナーヴェ構成を用いて G(2) を双単体的集合 NG(2) として実現し、その後 décalage 適用関手 Dec₁ を作用させることで、収縮可能な単体的集合が得られること。
• 得られた INN₀(G(2)) のナーヴェが、N'G(2)（ファイバー）と BG(2)（底空間）を含む完全系列に適合することを示すこと。
• décalage 構成を用いて、INN₀(G(2)) の背後に隠れた 2群圏が BG(2) の接続 2カテゴリカルと同値であることを示すこと。
• 2交叉モジュールの構造を用いて、INN₀(G(2)) の 3群としての対象、射、2-射を明示的に記述すること。
• décalage と双単体的集合の実現を用いて、INN₀(G(2)) のナーヴェが弱く収縮可能であることを示すことで、INN₀(G(2)) が収縮可能であることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群から2群への内部自己同型の概念をどのように一般化できるか？
• RQ2 厳密2群 G(2) に対して、内部自己同型 3群 INN₀(G(2)) の構造はどのようなものか？
• RQ3 INN₀(G(2)) は、普遍 G(2)-2バンドルと、分類 2群圏 BG(2) とどのように関係しているか？
• RQ4 INN₀(G(2)) の構成は、G(2) 上の恒等写像のマッピングコーンとして解釈可能か？
• RQ5 INN₀(G(2)) のホモトピー的意義、特に収縮性と普遍性の観点から、何が成立するか？

主な発見

• 内部自己同型 3群 INN₀(G(2)) は、2群圏としての短完全系列 G(2) → INN₀(G(2)) → BG(2) に適合する 3群として構成されている。
• INN₀(G(2)) は 2群圏として収縮可能であり、これは自明な 2群と同値であることを意味し、ナーヴェが弱く収縮可能であることを示している。
• 3群 INN₀(G(2)) は、G(2) の二重ナーヴェの décalage のナーヴェとして自然に生じ、N(INN₀(G(2))) ≅ Dec₁NG(2) が成り立つ。
• INN₀(G(2)) の構成は、G(2) の恒等交叉モジュールのマッピングコーンと同値であり、ホモトピー的解釈を提供する。
• |N(INN₀(G(2)))| は収縮可能であり、|N(INN₀(G(2)))| ≃ |NG(2)| = BG(2) が成り立つ。これにより、INN₀(G(2)) が普遍 2バンドルとしての役割を果たしていることが確認される。
• INN₀(G(2)) の 2交叉モジュール構造は明示的に記述されており、交叉正方形は交叉モジュール H → G 上の恒等写像から生じる。