[論文レビュー] Post-Critically Finite Maps on $\mathbb{P}^n$ for $n\ge2$ are Sparse

Patrick Ingram, Rohini Ramadas+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$ n \geq 2 $ および $ d \geq 3 $ の場合、$ \mathbb{P}^n $ 上の後期的有限（PCF）写像で、尾長さが2以下であるものは、パrameter空間 $ \operatorname{End}_d^n $ 内で疎であることを証明している。つまり、それらは真のZariski閉部分集合に含まれる。この結果により、このような写像はZariski稠密ではないことが示され、1次元の場合とは対照的である。1次元ではPCF写像が稠密であるのに対し、高次元では動的挙動に根本的な違いが生じる。

ABSTRACT

Let $f:{\mathbb P}^n o{\mathbb P}^n$ be a morphism of degree $d\ge2$. The map $f$ is said to be post-critically finite (PCF) if there exist integers $k\ge1$ and $\ell\ge0$ such that the critical locus $\operatorname{Crit}_f$ satisfies $f^{k+\ell}(\operatorname{Crit}_f)\subseteq{f^\ell(\operatorname{Crit}_f)}$. The smallest such $\ell$ is called the tail-length. We prove that for $d\ge3$ and $n\ge2$, the set of PCF maps $f$ with tail-length at most $2$ is not Zariski dense in the the parameter space of all such maps. In particular, maps with periodic critical loci, i.e., with $\ell=0$, are not Zariski dense.

研究の動機と目的

• $ n \geq 2 $ における $ \mathbb{P}^n $ 上の自己写像のパrameter空間における後期的有限（PCF）写像の稠密性を調査すること。
• 1次元の場合にPCF写像がZariski稠密であるのに対し、高次元ではそれらがよりまれであると予想される理由を理解すること。
• $ d \geq 3 $ および $ n \geq 2 $ の場合、尾長さが2以下のPCF写像の集合が $ \operatorname{End}_d^n $ 内でZariski稠密でないことを証明すること。
• 任意の固定された尾長さに対してPCF写像が高次元で疎であるという予想に証拠を提供すること。
• 高次元動的系における臨界軌道の幾何的性質に関する基礎的結果を確立すること。

提案手法

• 著者たちは、$ f^{k+\ell}(\operatorname{Crit}_f) \subseteq f^\ell(\operatorname{Crit}_f) $ を満たす条件により、$ \mathbb{P}^n $ 上のPCF写像を定義し、$ \ell $ を尾長さとする。
• 臨界軌道 $ \operatorname{Crit}_f $ がヤコビアン行列式の消滅によって定義されることを用い、その幾何的性質（一般型、特異点など）を研究する。
• 特に、行列式的多様体およびそのKodaira次元の理論を用いた代数幾何学的結果を適用し、$ d \geq 3 $ の場合、適度な条件下で $ \operatorname{Crit}_f $ が一般型であることを示す。
• 臨界軌道が既約で一般型であり、分岐軌道上で一般に1対1の写像であり、臨界軌道に沿って重複度2を持つという幾何的条件を満たす写像 $ f_0 \in \operatorname{End}_d^n $ を構成する。
• 形式的べき級数環 $ \mathbb{F}[[t]] $ 上での変形理論およびモノドロミーの議論を用いて、臨界軌道の像内の特定の点配置が、小さな摂動では実現不可能であることを示す。
• これらの幾何的制約を用いて、PCF条件を満たす写像の集合が $ \operatorname{End}_d^n $ の真の閉部分多様体に含まれることを示すために、命題24を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 後期的有限写像は、$ n \geq 2 $ および $ d \geq 3 $ の場合、パrameter空間 $ \operatorname{End}_d^n $ 内でZariski稠密か？
• RQ2 なぜ高次元ではPCF写像が $ \mathbb{P}^1 $ よりもまれであると予想されるのか？（$ \mathbb{P}^1 $ ではPCF写像が稠密であることが知られている。）
• RQ3 臨界軌道の幾何とその前向き軌道を用いて、高次元におけるPCF写像の疎らかさを証明できるか？
• RQ4 固定された尾長さ $ \ell \geq 1 $ に対して、PCF写像の集合は $ \operatorname{End}_d^n $ の真のZariski閉部分集合に含まれるか？
• RQ5 $ k > \ell $ に対して $ f^k(\operatorname{Crit}_f) \subseteq f^\ell(\operatorname{Crit}_f) $ を満たすために、$ f $、$ \operatorname{Crit}_f $、および $ f|_{\operatorname{Crit}_f} $ に必要な幾何的条件は何か？

主な発見

• $ d \geq 3 $ および $ n \geq 2 $ の場合、尾長さが2以下のPCF写像の集合は $ \operatorname{End}_d^n $ 内でZariski稠密ではなく、真のZariski閉部分集合に含まれる。
• 特に、尾長さ $ \ell = 0 $ の後期的周期写像（PCF）は、$ d \geq 3 $、$ n \geq 2 $ の場合、$ \operatorname{End}_d^n $ 内でZariski稠密ではない。
• $ d \geq 3 $、$ n \geq 2 $ の場合、$ \operatorname{End}_d^n $ 内の一般写像の臨界軌道 $ \operatorname{Crit}_f $ は、一般型の既約多様体である。
• 著者たちは、命題24の仮定を満たす写像 $ f_0 \in \operatorname{End}_d^n $ を構成した。特に、$ f_0|_{\operatorname{\mathcal{B}}_{f_0}} $ が一般に1対1であり、$ f_0 $ が $ \operatorname{Crit}_{f_0} $ に沿って重複度2を持つ。
• $ \mathbb{F}[[t]] $ 上でのモノドロミーおよび変形の議論を用いて、臨界軌道の像内の特定の点配置が、小さな摂動では実現不可能であることを示し、疎らかさを示した。
• この結果は、任意の固定された $ \ell \geq 1 $ に対して、尾長さ $ \ell $ のPCF写像の集合が $ \operatorname{End}_d^n $ の真のZariski閉部分集合に含まれるという予想を支持する。