[論文レビュー] Post-Newtonian Description of Quantum Systems in Gravitational Fields

Philip K. Schwartz|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 71被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、幾何的背景構造と一貫した量子化を用いて、弱い重力場におけるポストニュートン量子力学の第一原理的で体系的な導出を提示する。外部の電磁場および重力場にさらされる2粒子量子系の1次ポストニュートンハミルトニアンを導出し、正準量子化とクライン＝ゴルドン展開が運動量の一次まで一致することを示し、ニュートン＝ウィンガー位置観測値の古典的一意性定理を証明する。

ABSTRACT

This thesis deals with the systematic treatment of quantum-mechanical systems in post-Newtonian gravitational fields. Starting from clearly spelled-out assumptions, employing a framework of geometric background structures defining the notion of a post-Newtonian expansion, our systematic approach allows to properly derive the post-Newtonian coupling of quantum-mechanical systems to gravity based on first principles. This sets it apart from more heuristic approaches that are commonly employed, for example, in the description of quantum-optical experiments under gravity. Regarding single particles, we compare simple canonical quantisation of a free particle in curved spacetime to formal expansions of the minimally coupled Klein-Gordon equation, which may be motivated from QFT in curved spacetimes. Specifically, we develop a general WKB-like post-Newtonian expansion of the KG equation to arbitrary order in $c^{-1}$. Furthermore, for stationary spacetimes, we show that the Hamiltonians arising from expansions of the KG equation and from canonical quantisation agree up to linear order in particle momentum, independent of any expansion in $c^{-1}$. Concerning composite systems, we perform a fully detailed systematic derivation of the first order post-Newtonian quantum Hamiltonian describing the dynamics of an electromagnetically bound two-particle system situated in external electromagnetic and gravitational fields, the latter being described by the Eddington-Robertson PPN metric. In the last, independent part of the thesis, we prove two uniqueness results characterising the Newton--Wigner position observable for Poincaré-invariant classical Hamiltonian systems: one is a direct classical analogue of the quantum Newton--Wigner theorem, and the other clarifies the geometric interpretation of the Newton--Wigner position as `centre of spin', as proposed by Fleming in 1965.

研究の動機と目的

• . ポストニュートン展開および弱い重力場のための幾何的枠組みの構築。
• . ヒューリスティックな近似を避けて、第一原理から量子系と重力の結合を体系的に導出すること。
• . エディントン＝ロバートソン計量を用いて弱い重力場を含む2粒子系への先行研究を拡張すること。
• . ニュートン＝ウィンガー位置観測値の古典的一意性定理の証明により、その幾何的解釈を「スピンの中心」として明確化すること。

提案手法

• . ポストニュートン展開および弱い重力場を定義するために幾何的背景構造を用いる。
• . 曲がった時空における自由粒子の正準量子化を適用し、最小結合されたクライン＝ゴルドン方程式の形式的展開と比較する。
• . 1/c の任意の次数までの一貫したWKBに類似したポストニュートン展開を、クライン＝ゴルドン方程式に対して開発する。
• . 外部電磁場および重力場にさらされる電磁的に束縛された2粒子系の1次ポストニュートンハミルトニアンを導出する。
• . エディントン＝ロバートソンパラメータ化ポストニュートン計量を用いて弱い重力場を含める。
• . ポincare不変な古典的ハミルトニアン系において、ニュートン＝ウィンガー位置観測値の2つの一意性結果を証明する。1つは量子定理の古典的類似であり、もう1つはそれが「スピンの中心」としての解釈を明確にするものである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . ヒューリスティックな仮定ではなく、第一原理から一貫した量子系と重力のポストニュートン結合をどのように導出できるか。
• RQ2 . スタティックな時空において、正準量子化から得られるハミルトニアンとクライン＝ゴルドン方程式の展開から得られるハミルトニアンはどの程度一致するか。運動量のどの次数まで一致するか。
• RQ3 . 外部電磁場および重力場にさらされる電磁的に束縛された2粒子量子系の1次ポストニュートンハミルトニアンの形は何か。
• RQ4 . 古典的ハミルトニアン系におけるニュートン＝ウィンガー位置観測値の幾何的意味は何か。どのようにして一意に特徴づけられるか。
• RQ5 . 量子ニュートン＝ウィンガー定理の古典的類似を定式化し、証明することは可能か。

主な発見

• . スタティックな時空において、正準量子化から得られるハミルトニアンとクライン＝ゴルドン方程式の展開から得られるハミルトニアンは、1/c 展開に依存せず、粒子運動量の一次まで一致する。
• . 1/c の任意の次数までの一貫したWKBに類似したポストニュートン展開をクライン＝ゴルドン方程式に対して導出し、高次補正の体系的フレームワークを提供する。
• . 外部電磁場および重力場にさらされる2粒子系の1次ポストニュートンハミルトニアンが完全に導出された。これは、サーンレイトナーとバーネットの先行研究を、エディントン＝ロバートソン計量による弱い重力の含み方を含めて拡張したものである。
• . ニュートン＝ウィンガー位置観測値は、古典的ポincare不変系において「スピンの中心」として一意に特徴づけられ、1965年にフレミングが提案した仮説を裏付ける。
• . 量子ニュートン＝ウィンガー定理の古典的類似が証明され、古典的および量子局在理論の間の直接的なリンクが確立された。
• . この枠組みは、ヒューリスティックな手法が重力下の量子光学実験で用いられるのとは対照的に、ポストニュートン量子力学の厳密な第一原理的導出を提供する。