[論文レビュー] Hamiltonian formulation of general relativity and post-Newtonian dynamics of compact binaries

Gerhard Schäfer, P. Jaranowski|arXiv (Cornell University)|May 18, 2018

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ひとこと要約

本稿では、ADM形式およびラウーリアン還元を用いて、5.5PN次数まで到達する保存的および散乱的後ニュートン的力学を導出する、コンパクトな二重星系に対する一般相対性理論の包括的なハミルトニアン形式を提示する。次元正則化を用いることで、高次のスピンおよび潮汐相互作用における一貫性を達成し、スピンなしおよびスピンを有する二重星系の明示的ハミルトニアンを提供する。特に、4PN次数の最初のテール寄与および5.5PN次数の放射反動を含む。

ABSTRACT

Hamiltonian formalisms provide powerful tools for the computation of approximate analytic solutions of the Einstein field equations. The post-Newtonian computations of the explicit analytic dynamics and motion of compact binaries are discussed within the most often applied Arnowitt-Deser-Misner formalism. The obtention of autonomous Hamiltonians is achieved by the transition to Routhians. Order reduction of higher derivative Hamiltonians results in standard Hamiltonians. Tetrad representation of general relativity is introduced for the tackling of compact binaries with spinning components. Compact objects are modeled by use of Dirac delta functions and their derivatives. Consistency is achieved through transition to $d$-dimensional space and application of dimensional regularization. At the fourth post-Newtonian level, tail contributions to the binding energy show up for the first time. The conservative dynamics of binary systems finds explicit presentation and discussion through the fifth post-Newtonian order for spinless masses. For masses with spin Hamiltonians are known through (next-to)$^3$-leading-order spin-orbit and spin-spin couplings as well as through next-to-leading order cubic and quartic in spin interactions. Parts of those are given explicitly. Tidal-interaction Hamiltonians are considered through (next-to)$^2$-leading post-Newtonian order. The radiation reaction dynamics is presented explicitly through the third-and-half post-Newtonian order for spinless objects, and, for spinning bodies, to leading-order in the spin-orbit and spin1-spin2 couplings. The most important historical issues get pointed out.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論におけるコンパクトな二重星系の後ニュートン的力学の一貫性のあるハミルトニアンフレームワークを構築すること。
• 次元正則化および分布的微分を用いて、点質量系の高次の力学における不整合を解消すること。
• スピンを有するおよびスピンを無視する二重星系の明示的保存的および散乱的ハミルトニアンを、5.5PN次数まで導出すること。
• 次に-leadingおよびそれ以上の次数のスピン-軌道、スピン-スピン、および潮汐相互作用をハミルトニアンに組み込むこと。
• スピンなし系における、初めての明示的4PN次数テールハミルトニアンおよび5.5PN次数放射反動力学を提示すること。

提案手法

• 正準力学の基盤として、アーノイティ＝デーザ＝ミラー（ADM）ハミルトニアン形式を採用する。
• 高次導関数ハミルトニアンを自律的で標準的なハミルトニアンに変換するために、ラウーリアン還元を適用する。
• 発散を処理し一貫性を保つために、d次元空間と次元正則化を用いる。
• ストレステンソルにおけるデルタ関数およびその微分を用いて、コンパクト物体をモデル化する。
• 非局所的および特異的項を扱うために、拡張されたハダマールおよびリエス正則化分布を実装する。
• 自己相似性と場の運動量の切断を仮定した二重ブラックホールのスケルトンハミルトニアンを導出し、解析的PN展開を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論におけるコンパクトな二重星系に対して、高次の後ニュートン次数で一貫性のあるハミルトニアン形式をどのように構築できるか？
• RQ2 点質量特異性からの発散を解消するための次元正則化の役割は、高次のスピンおよび潮汐相互作用においてどのように果たされるか？
• RQ3 非局所的テール効果は、何次の後ニュートン次数で結合エネルギーに最初に現れ、ハミルトニアンにどのように組み込まれるか？
• RQ4 スピン-軌道およびスピン-スピン結合項は、どのように次に-leadingおよびそれ以上の次数でハミルトニアンから系統的に導出されるか？
• RQ5 5.5PN次数における放射反動ハミルトニアンの構造は何か、そしてスピンを有するおよびスピンを無視する二重星系の力学にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 4PN次数の結合エネルギーは、初めに非局所的テール寄与を含み、次元正則化を用いて明示的に導出された。
• スピンなし二重星系の保存的力学は、5.5PN次数まで完全に提示され、5PN次数まで明示的ハミルトニアンが得られ、放射反動は5.5PN次数まで到達している。
• スピン依存性ハミルトニアンは、次に-3-leading次数のスピン-軌道およびスピン-スピン結合まで導出されており、立方および四次スピン項を含む。
• 潮汐相互作用ハミルトニアンは、(次に-)2-leading後ニュートン次数まで構築されており、変形可能なコンパクト物体のモデル化を可能にする。
• 二重ブラックホールのスケルトンハミルトニアンは、完全に解析的で、共形平坦かつPN展開可能なモデルを提供し、3PN結果を再現し、ブリル＝リンダクスト初期データと一致する。
• 3PN精度のスケルトンハミルトニアンは、一般相対性理論の結合エネルギーを3PNまで再現するが、場の運動量の切断に起因して、イゼンベルグ＝ウィルスン＝マシューの手法からのずれが生じる。