[論文レビュー] Post-Riemannian Merger of Yang-Mills Interactions with Gravity

Orli Megged|ArXiv.org|Aug 17, 2000

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、内部対称性の自由度を統合接続1次形式を通じて時空幾何に直接埋め込むことで、ヤン・ミルズゲージ場と重力を統一する'post-Riemannian'時空枠組みを提案する。この構成は内部ゲージ不変性を保ちつつ、アインシュタイン方程式を、ヤン・ミルズ場強度を幾何的源として含む形に再定式化し、ウェイリーカルタン時空における重力スケール未満の相互作用を明らかにする。

ABSTRACT

We show that a post-Riemannian spacetime can accommodate an internal symmetry structure of the Yang-Mills prototype in such a way that the internal symmetry becomes an integral part of the spacetime itself. The construction encrusts the internal degrees of freedom in spacetime in a manner that merges the gauging of these degrees of freedom with the frame geometrical gauges of spacetime. In particular, we prove that the three spacetime structural identities, which now become ``contaminated'' by internal degrees of freedom, remain invariant with respect to internal gauge transformations. In a Weyl Cartan spacetime, the theory regains the original form of Einstein's equations, in which gauge field sources on the r.h.s. determine on the l.h.s the geometry of spacetime and the fields it induces. In the more general case we identify new contributions of weak magnitude in the interaction between the Yang-Mills field and gravity. The merger of spacetime with internal degrees of freedom which we propose here is not constrained by the usual Coleman-Mandula considerations.

研究の動機と目的

• リーマン的構造を超えて、内部対称性を時空幾何に埋め込むことで、ヤン・ミルズゲージ理論と一般相対性理論を統一すること。
• 内部ゲージ不変性が、内部自由度がねじれと非計量性に符号化された状態でも保たれることを示すこと。
• アインシュタイン方程式を再定式化し、ヤン・ミルズ場強度を左辺に幾何的源として作用させるようにすること。
• post-Riemannian幾何におけるヤン・ミルズ場と重力の間の新しい弱い結合の重力的相互作用を同定すること。
• 内部対称性の非標準的幾何的埋め込みのため、コールメン・マンデュラの定理がこの統一を制限しないことの証明。

提案手法

• リーマン接続をねじれと非計量性を有するウェイリーカルタン構造に変形する、構成的post-Riemannian幾何の手法を用いる。
• 時空および内部ゲージ場を統合した単一の統合接続1次形式を導入し、非標準的な代数的構造を持つ。
• 絶対的微分法を用いて、ねじれ、曲率、非計量性を含む幾何的恒等式を導出するが、これには内部自由度も含まれる。
• ウェイリーカルタン幾何に適合した最小のアインシュタイン＝ヒルベルト作用を用い、ヤン・ミルズ電流を源とする修正されたアインシュタイン方程式を導出する。
• ゲージ固定を用いてゲージ場のスケーリング関数を導入し、非計量的微細構造に敏感にし、弱い重力的相互作用を分離する。
• トランスベクトドねじれ形式 $\vartheta_\alpha \wedge T^\alpha$ に対する非アーベル的ストークスの定理の一般化を導出する。これはゲージ共変変換に従う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部ヤン・ミルズ対称性は、リーマン的枠組みを超えて、ゲージ不変性を損なわずに時空幾何に幾何学的に埋め込めるか？
• RQ2 内部自由度がねじれと非計量性に組み込まれた場合、標準的な時空構造的恒等式（例：バイアンチ類似関係）はどのように変化するか？
• RQ3 ウェイリーカルタン時空においてヤン・ミルズ場と重力を統合した場合の力学的結果、特に有効な重力結合定数の観点から、どのような影響が生じるか？
• RQ4 得られる理論は、標準的相対論的場理論においてこのような統一を禁じるコールメン・マンデュラの定理を回避できるか？
• RQ5 統合された時空・内部対称性構造から、例えばチャーン類のようなどのようなトポロジカル不変量が生じるか？

主な発見

• 理論は、内部ヤン・ミルズ自由度がウェイリーカルタン多様体の非計量性とねじれに符号化された統一された時空幾何を構築する。
• ねじれと曲率を含む、時空構造的恒等式（バイアンチ類似関係を含む）は、内部ゲージ変換の下でも不変のままである。
• ウェイリーカルタン時空において、アインシュタイン方程式は右辺にヤン・ミルズ場強度を源として幾何的に誘導された形で回復される。
• ヤン・ミルズ場と重力の間の新しい相互作用項が出現し、重力自体より弱い結合定数を持つため、劣化補正の可能性を示唆する。
• トランスベクトドねじれ形式 $\vartheta_\alpha \wedge T^\alpha$ は内部ゲージ変換の下で共変に変換され、ストークスの定理の非アーベル的一般化が可能になる。
• 統合された $GL(n,\mathbb{R}) \times U(N,\mathbb{C})$ バンドルの1番目のチャーン類が解析的に計算され、構成のトポロジカル整合性が確認された。