[論文レビュー] Power Laws are Boltzmann Laws in Disguise

Peter Richmond, Sorin Solomon|ArXiv.org|Oct 16, 2000

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、確率的乗法的ダイナミクスを伴う一般化されたロトカ＝ヴォルテラモデルから、富と金融リターンにおけるパワー則分布が自然に生じることを示しており、このようなパワー則が追加の対数項を含む修正ボルツマン分布と同等であることを示している。主な結果は、総富の時間変動が任意であっても、公正な市場条件のもとで、安定した時間不変のパワー則分布が富の分配に現れることである。

ABSTRACT

Using a model based on generalised Lotka Volterra dynamics together with some recent results for the solution of generalised Langevin equations, we show that the equilibrium solution for the probability distribution of wealth has two characteristic regimes. For large values of wealth it takes the form of a Pareto style power law. For small values of wealth, (w less then wmin) the distribution function tends sharply to zero with infinite slope. The origin of this law lies in the random multiplicative process built into the model. Whilst such results have been known since the time of Gibrat, the present framework allows for a stable power law in an arbitrary and irregular global dynamics, so long as the market is `fair', i.e., there is no net advantage to any particular group or individual. We show for our model that the relative distribution of wealth follows a time independent distribution of this form even thought the total wealth may follow a more complicated dynamics and vary with time in an arbitrary manner. In developing the theory, we draw parallels with conventional thermodynamics and derive for the system the associated laws of `econodynamics' together with the associated econodynamic potentials. The power law that arises in the distribution function may then be identified with new additional logarithmic terms in the familiar Boltzmann distribution function for the system. The distribution function of stock market returns for our model, it is argued, will follow the same qualitative laws and exhibit power law behaviour.

研究の動機と目的

• 統計力学に裏付けられた動的モデルを用いて、富と金融リターンにおけるパワー則分布の起源を説明すること。
• 複雑で時間的に変化する総富のダイナミクスがあるにもかかわらず、パワー則がなぜ持続するのかという長年の謎を解明すること。
• 経済力学的システムと熱力学的システムの間の形式的類似性を確立し、『経済力学的ポテンシャル』を導入すること。
• 均衡状態におけるパワー則が、奇抜な現象ではなく、公正な市場における確率的乗法的プロセスの自然な結果であることを示すこと。
• 一般市場ダイナミクス下での富の分配を統一的に記述するため、対数補正を含むボルツマン型の基本形を特定すること。

提案手法

• 公正な市場相互作用を模擬するため、確率的乗法的ノイズを伴う一般化されたロトカ＝ヴォルテラ方程式を用いて富のダイナミクスをモデル化する。
• 最近の一般化されたランジュヴィン方程式の解法を応用し、富の均衡確率分布を導出する。
• 均衡分布が、パワー則行動を引き起こす追加の対数項を含む修正ボルツマン分布として特定されることを示す。
• 分布の漸近的挙動を分析する：大きな富に対してパワー則（パレート領域）、小さな富に対して急激な減衰。
• 総富の時間的変動が任意であっても、相対的富の分布が時間不変であることを確立する。
• 熱力学と形式的に類似する関係を描き出し、熱力学的平衡統計力学における熱力学的ポテンシャルに類似した『経済力学的ポテンシャル』を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意で時間変動する総富を伴う系において、なぜ安定したパワー則分布の富の分配が生じるのか？
• RQ2 公正な市場条件下で、富の分配にパワー則行動を引き起こす背後にある動的メカニズムは何か？
• RQ3 金融システムにおけるパワー則分布は、一般化されたボルツマン分布の一種として理解できるか？
• RQ4 確率的乗法的プロセスが、均衡状態における富の分配をどのように形作るか？
• RQ5 富の分配の統計的性質は、経済力学的システムにおける熱力学的類似性とどのように関係するか？

主な発見

• 均衡状態における富の分布は、大きな富の値に対してパレート型パワー則を示し、パワー則指数は乗法的プロセスにおけるノイズ強度によって決定される。
• 閾値 w_min よりも小さな富の値では、分布が無限の傾きで急激にゼロに近づくため、貧困の強い抑制が示される。
• パワー則領域は、有効ボルツマン分布関数における対数補正に起因しており、パワー則が平衡統計力学とは別個のものではなく、その隠れた形であることが示唆される。
• 市場ダイナミクスが公正で対称的であれば、総富の時間的変動が任意であっても、富の相対的分布は時間不変のままである。
• モデルは、同じ根本的な乗法的確率的プロセスに基づくため、株式市場リターンも同様の定性的パワー則行動を示すと予測する。
• 系の均衡状態は、熱力学的ポテンシャルに類似した一連の『経済力学的ポテンシャル』によって特徴づけられ、経済力学的法則の形式的枠組みを提供する。