[論文レビュー] Power series proofs for local stabilities of Kähler and balanced structures with mild $\partial\bar\partial$-lemma

Sheng Rao, Xueyuan Wan+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、コンパクト複素多様体上のケーラー構造およびバランス構造の局所安定性を、弱い $\nabla\overline{\partial}$-lemma 条件の下で、べき級数法を用いて証明する。微分形式の自然な拡張写像による形式的べき級数展開を構築することで、収束性と正則性を確立し、$(n-1,n)$-番目の弱い $\nabla\overline{\partial}$-lemma が成り立つ、または $(p,p)$-ボッチ＝チエルン数が変形不変であるとき、ケーラー構造およびバランス構造が小さな変形のもとで保存することを証明する。

ABSTRACT

By use of a natural map introduced recently by the first and third authors from the space of pure-type complex differential forms on a complex manifold to the corresponding one on the small differentiable deformation of this manifold, we will give a power series proof for Kodaira-Spencer's local stability theorem of Kähler structures. We also obtain two new local stability theorems, one of balanced structures on an $n$-dimensional balanced manifold with the $(n-1,n)$-th mild $\partial\bar\partial$-lemma by power series method and the other one on $p$-Kähler structures with the deformation invariance of $(p,p)$-Bott-Chern numbers.

研究の動機と目的

• 偏微分方程式理論に依存しないで、コダイラ–スペンサーのケーラー構造の局所安定性定理をべき級数法によって証明すること。
• $(n-1,n)$-番目の弱い $\nabla\overline{\partial}$-lemma を満たす $n$ 次元コンパクト複素多様体上のバランス構造の新しい局所安定性定理を確立すること。
• $(p,p)$-ボッチ＝チエルン数の変形不変性の仮定の下で、$p$-ケーラー構造の局所安定性を証明すること。
• 中心ファイバーから変形されたファイバーへの形式の自然な拡張写像を用いて、べき級数法を複素幾何的構造へと拡張すること。

提案手法

• 著者らは、ベルトラミ微分を用いた収縮作用素の指数関数を用いて、変形された複素多様体上の微分形式の形式的べき級数展開を用いる。
• 中心ファイバー $X_0$ から近傍のファイバー $X_t$ へ形式を上げる写像 $ e^{\iota_{\varphi(t)}} \circ e^{\iota_{\overline{\varphi(t)}}} $ を定義する。
• Hölder 評価を用いてべき級数の収束性を確立し、中心ファイバーの近傍における滑らかな解の存在を保証する。
• 正則性の議論を適用して、構築された計量または形式が変形のもとで閉じており、正であることを示す。
• 第一および第三著者が導入した自然な写像に依存し、変形のもとで純粋型形式の構造を保存する。
• 閉じていることと正であることを確認するために、$\partial$, $\overline{\partial}$ およびニエンヘイズ・テンソルに関する重要な恒等式が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偏微分方程式の深い結果を用いずに、べき級数法のみを用いてケーラー構造の局所安定性を証明できるか？
• RQ2 $(n-1,n)$-番目の弱い $\partial\overline{\partial}$-lemma がバランス構造の局所安定性を保証するにはどのような条件下で十分か？
• RQ3 $(p,p)$-ボッチ＝チエルン数の変形不変性は、$p$-ケーラー構造の局所安定性を意味するか？
• RQ4 写像 $ e^{\iota_{\varphi(t)}} \circ e^{\iota_{\overline{\varphi(t)}}} $ をどのように用いて、変形された多様体上の微分形式の収束べき級数を構成できるか？

主な発見

• べき級数法を用いて、偏微分方程式に依存しない形でケーラー構造の局所安定性が成功裏に証明され、コダイラ–スペンサーの定理が形式的べき級数によって裏付けられた。
• $(n-1,n)$-番目の弱い $\partial\overline{\partial}$-lemma が成り立つとき、$n$ 次元コンパクト複素多様体上のバランス構造の新しい局所安定性結果が確立された。
• $(p,p)$-ボッチ＝チエルン数が変形不変であるという仮定の下で、$p$-ケーラー構造の局所安定性が証明され、二通りの異なる証明が与えられた。
• Hölder 評価を用いて、拡張された形式のべき級数の収束性が示され、変形パrameterに滑らかに依存することを保証した。
• 写像 $ e^{\iota_{\varphi(t)}} \circ e^{\iota_{\overline{\varphi(t)}}} $ は、変形のもとで形式の $\partial$-および $\overline{\partial}$-閉じている性質を保存する。
• 証明により、与えられた条件下で $\overline{\partial}(\varphi \lrcorner \omega)_k = 0$ ($k=1,2,3$) が成り立ち、これは $\overline{\partial}(\varphi \lrcorner \omega) = 0$ を意味し、変形された形式の閉じている性質を確認した。