[論文レビュー] Power Utility Maximization in Discrete-Time and Continuous-Time Exponential Levy Models

Johannes Temme|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、指数型Lévyモデルにおいて、最小限の仮定の下で、最適な離散時間ポートフォリオ戦略が連続時間の対応する戦略に収束することを確立する。すなわち、再バランスのタイミング数が増加するにつれ、離散時間モデルにおけるリスク資産に投資する資産の最適割合が、連続時間における定数最適戦略に収束することを証明し、この収束を保証するLévy過程に関する明示的な条件を提示する。

ABSTRACT

Consider power utility maximization of terminal wealth in a 1-dimensional continuous-time exponential Levy model with finite time horizon. We discretize the model by restricting portfolio adjustments to an equidistant discrete time grid. Under minimal assumptions we prove convergence of the optimal discrete-time strategies to the continuous-time counterpart. In addition, we provide and compare qualitative properties of the discrete-time and continuous-time optimizers.

研究の動機と目的

• 離散時間の指数型Lévyモデルにおける最適な離散時間ポートフォリオ戦略が、再バランスのタイミング数が増加するにつれて連続時間の最適戦略に収束するかどうかを調査すること。
• リスク回避度やドリフトの条件が変化する下での、離散時間および連続時間の最適戦略の定性的な挙動を分析すること。
• 連続時間の最適戦略が離散時間設定においても許容可能である条件を確立すること、特にLévy三つ組と積分可能性の仮定が果たす役割に焦点を当てる。
• 特に、定数戦略の許容領域に関して、離散時間および連続時間における最適戦略の構造と性質を比較すること。
• Lévy過程に関する最小限の仮定の下で、確率的微分法と離散Gronwall型不等式を用いた厳密な収束証明を提供すること。

提案手法

• 有限な時間区間 $ T $ の間に等間隔の $ N $ 個の時刻に再バランスを制限することで、連続時間の指数型Lévyモデルを離散化する。
• 最初の期間におけるLévy過程の分布に基づいて導かれる決定的かつ凹関数 $ g^N $ の最大化者として、離散時間最適戦略 $ \pi_N^* $ を定義する。
• 全Lévy三つ組に基づいて定義される決定的かつ凹関数 $ g $ の最大化者として、連続時間最適戦略 $ \pi^* $ を定義する。
• 伊藤の公式と確率的指数のモーメント推定を用いて、連続時間と離散時間の資産価格過程の差を制御する。
• 時間ステップにわたる誤差の伝播を制御するために、離散Gronwall補題を適用し、$ N \to \infty $ の下での最適戦略の収束を保証する。
• 性能関数のポートフォリオ重みおよびリスク回避パラメータに関する1階および2階微分の連続性を確立し、収束証明における陰関数定理の応用を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再バランスのタイミング数 $ N \to \infty $ の下で、最適な離散時間戦略 $ \pi_N^* $ は連続時間最適戦略 $ \pi^* $ に収束するか？
• RQ2 連続時間最適戦略 $ \pi^* $ が離散時間モデルにおいて許容可能であるためのLévy過程に関する条件（例えば、ブラウン運動の有無やジャンプの有無）は何か？
• RQ3 Lévy過程のドリフトの符号とリスク回避パラメータ $ p $ が、両モデルにおける最適戦略の構造および値にどのように影響するか？
• RQ4 収束速度 $ \pi_N^* $ から $ \pi^* $ への収束速度は何か？また、これはLévy三つ組およびプロセスの積分可能性にどのように依存するか？
• RQ5 両モデルにおける最適戦略は時間的に一定であるか？もしそうであるなら、その一定性が成立する条件は何か？

主な発見

• 積分可能性と、非ゼロのブラウン運動成分または正負の両方のジャンプが存在するという最小限の仮定の下で、$ N \to \infty $ の下で最適な離散時間戦略 $ \pi_N^* $ は連続時間最適戦略 $ \pi^* $ に収束する。
• 最適な連続時間戦略 $ \pi^* $ は定数であり、Lévy三つ組に依存する決定的かつ凹関数 $ g $ の最大化者として与えられ、提示された仮定の下で $[0,1]$ の範囲に存在する。
• 最適な離散時間戦略 $ \pi_N^* $ は時間的に一定であり、最初の期間の増分にのみ依存する決定的かつ凹関数 $ g^N $ の最大化者として与えられる。
• 収束速度 $ \pi_N^* $ から $ \pi^* $ への収束速度は $ O(n^{-1}) $ であり、$ n = N $ である。これはモーメント推定と離散Gronwall補題の適用による。
• 最適性の1階条件を定義する関数 $ K(\pi, p) = \partial I / \partial \pi $ および $ M(\pi, p) = \partial I / \partial p $ は、許容戦略集合の内部で連続であり、最大化者に対する安定性を保証する。
• 正または負のジャンプのみを有する純ジャンプ過程では、許容戦略集合は $ N $ に依存するが、非ゼロのブラウン運動成分または混合ジャンプが存在する仮定の下では、集合は一様に $[0,1]$ となるため、収束解析が簡素化される。