[論文レビュー] Pre-Calabi-Yau structures and moduli of representations

Wai‐Kit Yeung|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 39被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、微分形式および多ベクトル場のための形式的非可換微分積分法を確立し、$n$-Calabi-Yauおよび$n$-pre-Calabi-Yau構造が非正次数のdg代数上で、それらの表現の導来モジュライスタック上の$(2-n)$-シフトされたシンプレクティックおよびポアソン構造に結びつくトレースに基づく構成を導入する。主な貢献は、非可換幾何学における代数的構造と、モジュライ空間上のシフトされたシンプレクティック・ポアソン幾何学との間の体系的対応である。

ABSTRACT

We establish a system of formal noncommutative calculus for differential forms and polyvector fields, which forms the foundations for the study of pre-Calabi-Yau categories. Using an explicit trace map, we show that any $n$-Calabi-Yau structure on a non-positively graded dg algebra $A$ induces a $(2-n)$-shifted symplectic structure on its derived moduli stack of representations; while any $n$-pre-Calabi-Yau structure on $A$ induces a $(2-n)$-shifted Poisson structure on this derived moduli stack.

研究の動機と目的

• 微分形式および多ベクトル場のための非可換幾何学における形式的体系を構築し、pre-Calabi-Yau圏の基盤を形成すること。
• dg代数$A$の有限次元表現の導来モジュライスタックの明示的グローバル商モデルを構成すること。
• $A$上の$n$-Calabi-Yau構造が$\mathpzc{DRep}(A)$上の$(2-n)$-シフトされたシンプレクティック構造を誘導することを証明すること。同様に、$n$-pre-Calabi-Yau構造が$(2-n)$-シフトされたポアソン構造を誘導することを証明すること。

提案手法

• 非可換幾何学における微分形式のための拡張非可換 de Rham複体を、混合複体として導入する。
• 拡張ネックレスdgリー代数を定義し、重み付きリー括弧を備えた多ベクトル場の非可換類似物とする。
• dg代数$A$の cofibrant な分解$Q\xrightarrow{\sim}A$から得られる部分付き代数$A_r$を用いて、導来モジュライスタック$\mathpzc{DRep}(A)$をグローバル商$[\mathrm{Spec}(Q_r)/\mathrm{GL}(r)]$として構成する。
• 明示的なトレース写像を用いて、Hochschildコホロジー類をモジュライスタック上のシフトされたシンプレクティックおよびポアソン構造に結びつける。
• ネックレスリー代数上の不変コチェーンとグローバル商上のシフトされた多ベクトル場との間の準同型を確立する。
• 対称群の軌道に関する和と Koszul の符号を含む明示的計算を通じて、括弧構造の整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換代数幾何学における微分形式および多ベクトル場を体系的に形式化する方法は何か？
• RQ2 dg代数上の$n$-Calabi-Yau構造がその表現の導来モジュライスタックに誘導する正確な幾何的構造は何か？
• RQ3 非可換ネックレスdgリー代数は、モジュライ空間上のシフトされたポアソン構造とどのように関係するか？
• RQ4 表現の導来モジュライスタックは、cofibrant な分解を用いて明示的にグローバル商として実現可能か？
• RQ5 トレース写像は、非可換代数的構造とシフトされたシンプレクティック・ポアソン幾何学を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• $A$上の$n$-Calabi-Yau構造が、明示的なトレース写像を通じて、導来モジュライスタック$\mathpzc{DRep}(A)$上の$(2-n)$-シフトされたシンプレクティック構造を誘導する。
• $A$上の$n$-pre-Calabi-Yau構造が、$\mathpzc{DRep}(A)$上の$(2-n)$-シフトされたポアソン構造を誘導する。これは、古典的なシンプレクティック-ポアソン対応の非可換類似物を確立する。
• 導来モジュライスタック$\mathpzc{DRep}(A)$は、$Q_r$を$Q\xrightarrow{\sim}A$の$r$-ラベル化とし、$[\mathrm{Spec}(Q_r)/\mathrm{GL}(r)]$のコロイミットに同型である。これは、$[0,0]$のトロアーミプルを有する擬完全モジュールの導来モジュライを回復する。
• 拡張ネックレスdgリー代数$\bigoplus_{r\geq1}\mathscr{P}^{(r)}(\mathcal{A},m)[m+1]$は、重み$-1$の括弧を備えた、シフトされた多ベクトル場の非可換モデルを提供する。
• トレース写像は、ネックレスリー代数上の不変コチェーンとグローバル商上のシフトされた多ベクトル場との間で準同型を誘導し、シフトされたポアソン構造と整合性を保つ。
• 明示的計算により、ネックレス代数上のリー括弧が、対称群の軌道に関する和と Koszul の符号を介して、モジュライスタック上の Schouten-Nijenhuis 括弧に対応することが確認された。