[論文レビュー] Resonant Hypergeometric Systems and Mirror Symmetry

Jan Stienstra|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 32

ひとこと要約

本稿は、nilpotent 要素の環に値をとる適応された Γ-級数を用いて、共振する Gel'fand-Kapranov-Zelevinsky (GKZ) 超幾何系の解を構成し、Calabi-Yau多様体上の周期の明示的計算を可能にする。主な結果として、これらの適応された級数を介して相対的コホロジー加群と自明な D-加群との間に同型が確立され、toric mirror symmetry のための B-モデル周期が得られる。

ABSTRACT

The Gamma-series of Gel'fand-Kapranov-Zelevinsky are adapted so that they give solutions for certain resonant systems of GKZ hypergeometric differential equations. For this some complex parameters in the Gamma-series are replaced by nilpotent elements from a ring $R_{A,T}$. The adapted Gamma-series is a function $Ψ$ with values in the finite dimensional vector space $R_{A,T}\otimes C$. Applications of these results in the context of toric Mirror Symmetry are described. Building on work of Batyrev we show that the relative cohomology module of a certain hypersurface in a torus is a GKZ hypergeometric $D$-module which over an appropriate domain is isomorphic to the trivial $D$-module $R_{A,T}\otimes O_T$, where $O_T$ is the sheaf of holomorphic functions on this domain. The isomorphism is explicitly given by adapted Gamma-series. As a result one finds the periods of a holomorphic differential form of degree $d$ on a $d$-dimensional Calabi-Yau manifold, needed for the B-model side input to Mirror Symmetry. Relating our work with that of Batyrev and Borisov we interpret the ring $\cR_{\sA,\gT}$ as the cohomology ring of a toric variety and a certain principal ideal in it as a subring of the Chow ring of a Calabi-Yau complete intersection. This interpretation takes place on the A-model side of Mirror Symmetry.

研究の動機と目的

• β ∈ ℤⁿ であり、三角形分割に複数の最大単体が存在する場合の GKZ 超幾何系における共振問題を解消すること。
• nilpotent パラメータを用いて、共振状態における Γ-級数解の定義域を明確に定義すること。
• toric 空間と Calabi-Yau 完全交差の観点から、解空間の幾何的解釈を提供すること。
• 適応された Γ-級数を介して A-モデルのコホロジー環と B-モデルの周期を結びつけること。
• 適応された Γ-級数を用いて、相対的コホロジーと自明な D-加群との間に明示的な同型を確立すること。

提案手法

• 複素パラメータを環 𝒮_{𝒜,𝒯} からの nilpotent 要素に置き換えることで、標準的な Γ-級数を適応させ、共振状態でも解を得る。
• 𝒮_{𝒜,𝒯} ⊗_ℤ ℂ に値をとる関数 Ψ_{𝒯,β} を定義し、β ∈ ℳ の場合に GKZ 系を解く。
• 正則な三角形分割と鋭い補助ファイバーを用いて、適応された Γ-級数の収束領域を定義する。
• 適応された Γ-級数を介して、相対的コホロジー加群 Hⁿ(𝕋̃ rel 𝒁_{s−1}) が自明な D-加群 𝒮_{𝒜,𝒯} ⊗ 𝒪_𝒯 に同型であることを確立する。
• 環 𝒮_{𝒜,𝒯} をトーリック多様体のコホロジー環と特定し、Calabi-Yau 完全交差のチャウ環の部分環としての主理想を同定する。
• モノドロミー表現とチャーン類作用を用いて、D-加群構造をピカール群とラインバンドル作用に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な級数が退化により失敗する際、Γ-級数をどのように適応して共振 GKZ 超幾何系を解けるようにするか？
• RQ2 toric mirror symmetry の文脈において、環 𝒮_{𝒜,𝒯} の幾何的意味は何か？
• RQ3 適応された Γ-級数が相対的コホロジーと自明な D-加群との間にどのように標準的同型を提供するか？
• RQ4 トーリック多様体のコホロジーと Calabi-Yau 完全交差のチャウ環とは、どのように関係するか？
• RQ5 B-モデル側のモノドロミー表現は、A-モデル側のチャーン類とどのように対応するか？

主な発見

• 適応された Γ-級数 Ψ_{𝒯,β} は、標準的な級数が一致する共振状態においても、GKZ 系の定義された解を提供する。
• 適切な定義域において、相対的コホロジー加群 Hⁿ(𝕋̃ rel 𝒁_{s−1}) は自明な D-加群 𝒮_{𝒜,𝒯} ⊗ 𝒪_𝒯 に同型である。
• 同型は適応された Γ-級数によって明示的に与えられ、これは d 次元の Calabi-Yau 多様体上の正則 d-形式の周期を計算する。
• 環 𝒮_{𝒜,𝒯} はコホロジー環 H*(ℙ_𝒯, ℤ) として特定され、その主理想は Calabi-Yau 完全交差のチャウ環に対応する。
• B-モデル側のモノドロミー表現は、H*(ℙ_𝒯, ℤ) 上での Pic(ℙ_𝒯) の作用に同型であり、c₁(ℒ) は乗法作用 exp(c₁(ℒ)) として作用する。
• この構成は、A-モデル側が滑らかな射影的トーリック多様体内の滑らかな完全交差 Calabi-Yau であるすべての状況をカバーする。