[論文レビュー] Pre-Lie algebras and the rooted trees operad

Frédéric Chapoton, Muriel Livernet|ArXiv.org|Feb 10, 2000

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 75

ひとこと要約

この論文は、pre-Lie代数を記述するoperadが根付き木のoperadと同型であることを確立し、代数的構造の組み合わせ的実現を提供する。自由pre-Lie代数がその関連Lie代数の普遍包あくり代数上の自由加群であることを示すことにより、pre-Lie代数が量子場理論におけるHopf代数およびoperad的ホモロジーと関連していることを裏付ける。

ABSTRACT

A Pre-Lie algebra is a vector space L endowed with a bilinear product * : L imes L to L satisfying the relation (x*y)*z-x*(y*z)= (x*z)*y-x*(z*y), for all x,y,z in L. We give an explicit combinatorial description in terms of rooted trees of the operad associated to this type of algebras and prove that it is a Koszul operad.

研究の動機と目的

• pre-Lie代数を定義するoperadを根付き木を用いて組み合わせ的に記述すること。
• pre-Lie operadがKoszulであることを証明すること、これはoperad的ホモロジー代数における重要な性質である。
• 自由pre-Lie代数とその関連Lie代数の普遍包あくり代数上の自由加群との間の構造的同型を確立すること。
• operad的およびホモロジー的道具を用いて、pre-Lie代数、Hochschildコホモロジー、アフィン多様体、および量子場理論との関係を明確化すること。

提案手法

• S_2の正則表現上で自由operadをとり、特定のS_3-不変関係（pre-Lie恒等式を符号化）を法として商をとることでpre-Lie operadを構成する。
• 根付き木の生成子と、接ぎ合わせ操作に基づく合成則を備えたoperadとして根付き木のoperadを定義する。
• 明示的な組み合わせ的同型を用いて、pre-Lie operadが根付き木のoperadと同型であることを証明する。
• 自由pre-Lie代数の普遍性と普遍包あくり代数U(L_Lie)の構造を用い、ベクトル空間V上の自由pre-Lie代数が右U(L_Lie)-加群としてV × U(L_Lie)と同型であることを示す。
• operad的ホモロジー理論とTor函手を用いて、自由pre-Lie代数のホモロジーを計算し、Koszul性を導出する。
• L ≃ V ⊗ U(L_Lie)の同型を活用し、Connes-KreimerのHopf代数をpre-Lie代数およびoperad的双対性の観点から再解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 pre-Lie代数のoperadは、根付き木を用いて明示的に記述可能か？
• RQ2 pre-Lie operadはKoszulであるか？その背後にある構造的性質は何か？
• RQ3 自由pre-Lie代数とその関連Lie代数の普遍包あくり代数との関係は何か？
• RQ4 根付き木のoperad的構造は、量子場理論およびHochschildコホモロジーにおける既知の構成とどのように関係するか？
• RQ5 普遍包あくり代数上の加群構造を用いて、pre-Lie代数のoperad的ホモロジーを計算可能か？

主な発見

• pre-Lie代数を定義するoperadは、接ぎ合わせ操作によって与えられる合成を備えた根付き木のoperadと同型である。
• ベクトル空間V上の自由pre-Lie代数は、右U(L_Lie)-加群としてV ⊗ U(L_Lie)と同型である。
• operad的ホモロジーをTor函手を用いて計算することにより、pre-Lie operadがKoszulであることが示された。
• 自由pre-Lie代数LのホモロジーHPL_n(L)は、n=1のときVであり、それ以外の場合は0である。これはKoszul性を確認する。
• 同型L ≃ V ⊗ U(L_Lie)により、Connes-KreimerのHopf代数がpre-Lie代数の観点から新たな解釈が可能になった。
• V ⊗ U(L_Lie)上のpre-Lie積は、(v,u)*(v',u') = (v, u ⊗ (σ(v') ⋆ u')) で定義され、これはV上の自由pre-Lie代数と同型なpre-Lie代数をなす。