[論文レビュー] Precise deviations for Hawkes processes

Fuqing Gao, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、mod-ϕ収束理論を用いて線形ハーケス過程の正確な偏差を確立し、標準的な大偏差および中程度偏差原理を越えた高次漸近展開を導出する。主な貢献は、高次モーメントを組み込んだ、尾確率 P(N_t ≥ xt) の精密ラプラス近似であり、従来のDonsker-Varadhan型の結果よりも鋭い指数的推定をもたらす。

ABSTRACT

Hawkes process is a class of simple point processes with self-exciting and clustering properties. Hawkes process has been widely applied in finance, neuroscience, social networks, criminology, seismology, and many other fields. In this paper, we study precise deviations for Hawkes processes for large time asymptotics, that strictly extends and improves the existing results in the literature. Numerical illustrations will also be provided.

研究の動機と目的

• 既存の大偏差および中程度偏差結果を、高次補正を含む正確な偏差を導出することによって拡張すること。
• 既存のDonsker-Varadhan型のレート関数の限界を是正すること、これには主に一次の挙動しか捉えられていない。
• モーメント生成関数解析を用いて、尾確率 P(N_t ≥ xt) の精密漸近近似を構築すること。
• 核 h に対して可積分性条件を満たす場合に、線形ハーケス過程に mod-ϕ 収束理論を適用すること。
• 高次モーメントおよび計数過程のラプラス変換の漸近展開の明示的公式を提供すること。

提案手法

• ハーケス過程 N_t のモーメント生成関数を分析するために、mod-ϕ 収束理論を用いる。
• 積分方程式を用いて、F(t;θ) = E[exp(θN_t)] の半明示的公式を導出する。
• θ に関する F^{(k)}(t;θ) の再帰的微分方程式を確立し、高次導関数の計算を可能にする。
• ラドン＝ニコディム導関数を含む傾き測度を用いて、P(N_t ≥ xt) を表現するための測度変換技術を適用する。
• キュムラント生成関数のレジェンドル変換を用いて、最適な傾きパラメータ θ* を特定する。
• 鞍点法および4次の累積量までを用いた漸近展開を用いて、尾確率の展開を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形ハーケス過程における尾確率 P(N_t ≥ xt) の高次漸近論は、どのように導出可能か？
• RQ2 一次の大偏差原理を超えて、P(N_t ≥ xt) の正確な指数的減衰率は何か？
• RQ3 ハーケス過程のような確率的強度を有する点過程に、mod-ϕ 収束理論を効果的に適用可能か？
• RQ4 4次の累積量までを含めた高次モーメントは、尾確率のラプラス近似をどのように精緻化するか？
• RQ5 核 h は、特に ∫th(t)dt < ∞ の場合に、正確な偏差挙動をどのように規定するか？

主な発見

• 本稿では、標準的大偏差レート関数を超える高次補正を含む、P(N_t ≥ xt) の正確なラプラス近似を導出する。
• 尾確率の漸近展開には、計数過程の4次の累積量が関与し、ν, ‖h‖_{L^1}, および x を用いた x^{(3)}(θ*) および x^{(4)}(θ*) の明示的表現が得られる。
• 最適な傾きパラメータ θ* は θ* = argmax_θ {θx − ν(x(θ) − 1)} を満たし、x(θ*) = x / (ν + ‖h‖_{L^1}x) である。
• 展開における2次補正項は、x^{(4)}(θ*) / (1 − ‖h‖_{L^1}x(θ*)) に比例し、(γ − 1)^2 および H(t − u) を含む係数を有する。
• Donsker-Varadhan 大偏差原理に比べ、指数的減衰率の次項を捉えることで、結果の精度が向上する。
• 数値的実験により、特に中程度から大偏差領域において、正確な偏差近似の正確性が確認される。