[論文レビュー] Precised approximations in elliptic homogenization beyond the periodic setting

Xavier Blanc, Marc Josien+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 29被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、周期的背景に対して局所的摂動を受ける係数をもつ楕円型均質化問題について、$W^{1,p}$ およびリプシッツノルムにおける明示的な収束速度を確立する。欠陥を認識した補正子を構築し、アベラネダとリンの戦略を適応させることで、摂動の可積分性に依存する明示的な収束速度を証明し、古典的な周期的均質化結果を定量的制御を伴う非周期的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We consider homogenization problems for linear elliptic equations in divergence form. The coecients are assumed to be a local perturbation of some periodic background. We prove $W^{1,p}$ and Lipschitz convergence of the two-scale expansion, with explicit rates. For this purpose, we use a corrector adapted to this particular setting, and dened in [10, 11], and apply the same strategy of proof as Avellaneda and Lin in [1]. We also propose an abstract setting generalizing our particular assumptions for which the same estimates hold.

研究の動機と目的

• 係数が周期的背景に対して局所的摂動を受ける楕円型方程式について、$W^{1,p}$ およびリプシッツノルムにおける定量的収束速度を確立すること。
• 局所的欠陥に特化した補正子の使用が、標準的な周期的ケースを上回る収束速度をもたらすことを示すこと。
• 古典的な周期的均質化枠組みを、非周期的かつ局所的摂動を受ける係数を含むより広範な抽象的設定へと一般化すること。
• カーディナル＝ジミン理論および楕円型正則性に基づく、摂動された設定に適応した厳密な証明戦略を提供すること。
• 既知の周期的均質化推定値の適用範囲を、非周期的かつ欠陥影響を受ける系へと拡張し、摂動の可積分性に明示的な依存関係を示すこと。

提案手法

• 著者らは、係数行列の局所的欠陥を考慮するための補正子を、先行研究[9, 10, 11]で構築したものを利用し、改善された収束性を保証する。
• アベラネダとリン[1]およびアベラネダとリン[24]の証明戦略を、局所的摂動を伴う非周期的設定へと適応する。
• 解析は、補正子およびその勾配のホルダーおよびリプシッツ推定に依存し、カーディナル＝ジミン理論および楕円型正則性を用いて導出される。
• 補正子を周期的部および欠陥由来部に分解し、後者を特異核との畳み込みで構築し、$L^\rho$ およびホルダー評価を示す。
• 最大関数の評価およびモリィの定理を用いて、補正子の勾配に対する評価を確立し、これは摂動の可積分性 $r$ に依存する。
• 二重スケール展開の剰余項の解析により収束速度を導出する。これには、補正子およびその勾配の有界性と正則性が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数行列が周期的行列の局所的摂動である場合に、楕円型均質化問題について明示的な $W^{1,p}$ 収束速度を確立できるか？
• RQ2 局所的欠陥の可積分性 $r$ が係数行列に与える収束速度への依存関係は何か？
• RQ3 欠陥を認識した補正子の使用により、標準的な周期的均質化と比較して、$W^{1,p}$ やリプシッツノルムといったより強い位相で改善された収束が達成できるか？
• RQ4 古典的な周期的均質化枠組みを、定量的推定を伴う非周期的かつ欠陥影響を受ける設定へ一般化できるか？
• RQ5 局所的欠陥が存在する場合の補正子およびその勾配の正則性と減衰性は何か？

主な発見

• 本稿では、$r \in [1, \infty) \setminus \{d\}$ に対して、摂動の $L^r$-可積分性に依存する明示的な収束速度をもつ二重スケール展開の $W^{1,p}$ 収束を確立する。
• リプシッツ収束は、背景のホルダー正則性および欠陥の可積分性に依存する速度で証明され、$r < d$ の場合のホルダー指数 $\nu_r = \min(\alpha, 1 - \frac{d}{r})$ および $r \geq d$ の場合の $\nu_r = \alpha$ をとる。
• 文献[10, 11]で構築された補正子が、$W^{1,p}$ およびリプシッツノルムにおける最適な収束速度を達成することを示し、定量的均質化におけるその有用性を裏付ける。
• 補正子の勾配が $q \in (r, \infty)$ に対して $L^q$ に属し、指数 $\nu_r$ でホルダー連続であることが示され、収束推定に必要な正則性が保証される。
• 仮定を係数行列に関する形式的で抽象的な設定に一般化することで、周期性を越えた設定へと結果を拡張する。同じ収束速度が得られる。
• 証明戦略は[1, 24]から適応されたが、系ではなく方程式に特化して調整され、技術的複雑性が軽減されつつも、核心的な解析的道具は保持される。