[論文レビュー] Predictive Modeling with Learned Constitutive Laws from Indirect Observations

Daniel Zhengyu Huang, Kailai Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2019

Model Reduction and Neural Networks参考文献 32被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、有限要素法と自動微分を統合した、物理に基づいた機械学習フレームワークを提案する。このフレームワークは、神経ネットワークを用いて間接観測データから構成則を学習し、多スケールおよび非線形な固体力学問題において有効であることを示している。従来の関数近似手法（例：径数基底関数）を上回る性能を発揮し、信頼区間を用いた不確実性評価を可能としている。

ABSTRACT

We present a new approach for predictive modeling and its uncertainty quantification for mechanical systems, where coarse-grained models such as constitutive relations are derived directly from observation data. We explore the use of a neural network to represent the unknown constitutive relations, compare the neural networks with piecewise linear functions, radial basis functions, and radial basis function networks, and show that the neural network outperforms the others in certain cases. We analyze the approximation error of the neural networks using a scaling argument. The training and predicting processes in our framework combine the finite element method, automatic differentiation, and neural networks (or other function approximators). Our framework also allows uncertainty quantification in the form of confidence intervals. Numerical examples on a multiscale fiber-reinforced plate problem and a nonlinear rubbery membrane problem from solid mechanics demonstrate the effectiveness of our framework.

研究の動機と目的

• 間接的観測データから直接に構成則を学習する予測モデリングフレームワークの構築を目的とする。
• 未知の構成則関係を表現する際の、神経ネットワークと古典的関数近似手法（例：区分的線形関数、径数基底関数）の性能を比較することを目的とする。
• 神経ネットワークを有限要素法と自動微分と統合し、正確なシミュレーションと学習を実現することを目的とする。
• 信頼区間を用いた予測の不確実性評価を可能とする。
• 多スケールおよび非線形挙動を示す挑戦的な固体力学問題に対して、フレームワークの妥当性を検証することを目的とする。

提案手法

• 未知の構成則を表すために神経ネットワークを用い、システム応答の間接的観測データを用いて訓練する。
• 空間離散化に有限要素法を組み合わせ、学習のための勾配計算に自動微分を用いる。
• 損失関数は、支配的偏微分方程式の弱形式の残差に基づいて構築され、物理的整合性を保証する。
• スケーリング解析を用いて神経ネットワークの近似誤差を分析し、収束特性を評価する。
• ベイズ推論またはドロップアウトベースの手法を用いて予測分散を推定することで、不確実性評価を実施する。
• 2つのベンチマーク問題に適用する：多スケール繊維強化プレートと非線形ゴム性膜。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 神経ネットワークは、機械的系における間接的観測データから構成則を効果的に学習できるか？
• RQ2 神経ネットワークの性能は、径数基底関数などの従来の関数近似手法と比較して、どのように異なるか？
• RQ3 神経ネットワークを有限要素法と自動微分と統合することで、予測精度がどの程度向上するか？
• RQ4 フレームワークは信頼区間の形で信頼性のある不確実性評価を提供できるか？
• RQ5 この手法は、複雑で非線形的かつ多スケールな力学的系にどの程度一般化できるか？

主な発見

• テスト問題において、区分的線形関数、径数基底関数、および径数基底関数ネットワークを上回る精度で、神経ネットワークベースの構成則表現が予測精度を達成した。
• 応力-ひずみ関係の直接測定が不要な状況においても、フレームワークは間接的観測から構成挙動を効果的に学習できた。
• 自動微分の使用により、有限要素フレームワーク内での神経ネットワークの訓練に効率的かつ正確な勾配計算が可能になった。
• スケーリング解析により、ネットワークの深さと幅が増加するに従い、神経ネットワークの近似誤差が有利にスケーリングされることを裏付けた。
• 意味のある信頼区間が得られ、予測の不確実性評価が可能となった。
• 繊維強化プレートおよびゴム性膜問題における数値結果から、フレームワークの頑健性と予測能力が確認された。