[論文レビュー] Prescribed mass ground states for a doubly nonlinear Schr\"odinger equation in dimension one

Filippo Boni, Simone Dovetta|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 54被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、実数直線上の1次元二重非線形シュレーディンガー方程式に対して、標準的なべき乗非線形項と原点に局在化した点非線形項を有する場合に、さまざまな臨界性領域において、基底状態の存在および一意性を確立する。両非線形項が部分的臨界である場合、任意の質量で基底状態が存在し、一意である。一方、片方が臨界で他方が部分的臨界である場合、臨界質量の閾値で基底状態が存在する。二重臨界の場合、非線形相互作用のため、個々の臨界状態よりも低い臨界質量でのみ基底状態が存在し、その質量は一意的である。

ABSTRACT

We investigate the problem of existence and uniqueness of ground states at fixed mass for two families of focusing nonlinear Schr\"odinger equations on the line. The first family consists of NLS with power nonlinearities concentrated at a point. For such model, we prove existence and uniqueness of ground states at every mass when the nonlinearity power is $L^2-$subcritical and at a threshold value of the mass in the $L^2-$critical regime. The second family is obtained by adding a standard power nonlinearity to the previous setting. In this case, we prove existence and uniqueness at every mass in the doubly subcritical case, namely when both the powers related to the pointwise and the standard nonlinearity are subcritical. If only one power is critical, then existence and uniqueness hold only at masses lower than the critical mass associated to the critical nonlinearity. Finally, in the doubly critical case ground states exist only at critical mass, whose value results from a non--trivial interplay between the two nonlinearities.

研究の動機と目的

• 実数直線上の標準的べき乗非線形項と原点における点非線形項を有する二重非線形シュレーディンガー方程式に対して、固定質量における基底状態の存在および一意性を確立すること。
• 二重部分的臨界、単一臨界（片方が臨界、他方が部分的臨界）、二重臨界（両方が臨界）の各臨界性領域におけるエネルギー汎関数の挙動を分析すること。
• 特に臨界領域における基底状態の存在が保証される正確な臨界質量閾値を特定し、二つの非線形項が臨界質量に与える相互作用を調査すること。
• 二重臨界の場合（p=6, q=4）に、基底状態が唯一の臨界質量 µ∗でのみ存在することを証明し、その µ∗ が個々の非線形項の臨界質量よりも厳密に小さいことを示すこと。

提案手法

• エネルギー汎関数 Fp,q(u) = 1/2∥u′∥²₂ − 1/p∥u∥ᵖₚ − 1/q|u(0)|^q を H¹(R) 上で、質量制約 ∥u∥²₂ = µ の下で分析する。
• 有界性および最小化子の存在を示すために、変分法、強制性の議論およびガリardo-Nirenberg不等式を用いる。
• 二重臨界の場合（p=6, q=4）には、スケーリング不変性（F6,4(uλ) = λ²F6,4(u)）とエネルギー汎関数の上半連続性を用いて、臨界質量 µ∗ を特徴付ける。
• 背理法と弱収束の議論を用いて、µ∗ における基底状態の存在を証明し、µ∗ における最小化列の任意の弱極限が非自明でかつ下界に達することを示す。
• 原点における非線形ジャンプ条件 u′(0⁻) − u′(0⁺) = |u(0)|^{q−2}u(0) を満たす2つのソリトン解（u'' + |u|^{p-2}u = ωu の解）を貼り合わせることで解を構成する。
• ソリトンの明示的形 φ(x) = [p/(2ω)(1 − tanh²(...))]^{1/(p−2)} を用い、一致条件の積分により臨界質量 µ∗ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項のパラメータ (p, q) がどのような条件下で、任意の固定質量 µ > 0 において基底状態が存在するか？
• RQ2 片方または両方の非線形項が L²-臨界パワーにある場合、基底状態の存在および一意性はどのように変化するか？
• RQ3 標準的べき乗非線形項と原点における点非線形項の間の相互作用は、臨界質量閾値にどのように影響を与えるか？
• RQ4 二重臨界の場合（p=6, q=4）に、臨界質量 µ∗ は個々の非線形項の臨界質量と比べて等しい、それより大きい、それとも小さいか？

主な発見

• 2 < p < 6 かつ 2 < q < 4（二重部分的臨界領域）では、任意の µ > 0 において基底状態が存在し、一意的である。
• p = 6（L²-臨界）かつ 2 < q < 4（部分的臨界）の場合、基底状態は µ < √3 π / 2 のみで存在し、一意的である。µ ≥ √3 π / 2 のとき、エネルギー F6,q(µ) = −∞ である。
• 2 < p < 6（部分的臨界）かつ q = 4（L²-臨界）の場合、基底状態は µ < 2 のみで存在し、一意的である。µ ≥ 2 のとき、エネルギー Fp,4(µ) = −∞ である。
• 二重臨界の場合（p=6, q=4）、基底状態は唯一の臨界質量 µ∗ = √3 (π/2 − arcsin(√(3/7))) のみで存在する。µ ≤ µ∗ のとき F6,4(µ) = 0、µ > µ∗ のとき F6,4(µ) = −∞ である。
• 臨界質量 µ∗ は、個々の臨界質量 √3 π / 2 および 2 よりも厳密に小さい。これは、二つの非線形項の間の非自明な相互作用が閾値を低下させることを示している。
• 二重臨界領域における静的方程式のすべての解は同じ質量 µ∗ を有し、すべての ω > 0 に対して F6,4(ϕω) = 0 である。これは、全族 {ϕω}ω>0 が µ∗ における基底状態であることを確認している。