[論文レビュー] Preservation of Commutation Relations and Physical Realizability of Open Two-Level Quantum Systems

Luis A. Duffaut Espinosa, Zibo Miao+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、双線形量子確率的微分方程式（QSDE）に従うオープン2レベル量子系において、パウリの交換関係を保存するための必要十分条件を確立する。物理実現可能性を四分位場の観点から再定式化することで、物理実現可能性が時間不変なスピン交換関係を保証することを証明し、非線形量子系におけるコherentフィードバック制御における重要なギャップを解消する。

ABSTRACT

Coherent feedback control considers purely quantum controllers in order to overcome disadvantages such as the acquisition of suitable quantum information, quantum error correction, etc. These approaches lack a systematic characterization of quantum realizability. Recently, a condition characterizing when a system described as a linear stochastic differential equation is quantum was developed. Such condition was named physical realizability, and it was developed for linear quantum systems satisfying the quantum harmonic oscillator canonical commutation relations. In this context, open two-level quantum systems escape the realm of the current known condition. When compared to linear quantum system, the challenges in obtaining such condition for such systems radicate in that the evolution equation is now a bilinear quantum stochastic differential equation and that the commutation relations for such systems are dependent on the system variables. The goal of this paper is to provide a necessary and sufficient condition for the preservation of the Pauli commutation relations, as well as to make explicit the relationship between this condition and physical realizability.

研究の動機と目的

• オープン2レベル量子系に対して、物理実現可能性の体系的特徴付けが不足しているという問題に取り組むこと。これらは非線形であり、状態依存の交換関係を持つ。
• 線形量子系にのみ適用可能な従来の理論（調和振動子の交換関係を前提）に起因するギャップを埋めるために、フレームワークをスピン系に拡張すること。
• オープン2レベル量子系において、パウリ交換関係が時間的に保存されることを保証する厳密な条件を確立すること。
• 双線形QSDEにおける物理実現可能性と量子交換関係の保存との関係を明確にすること。
• 四分位表現を用いて物理実現可能性条件を再定式化し、系のダイナミクスをより自然な実行列形式で表現すること。

提案手法

• オープン2レベル系の双線形量子確率的微分方程式（QSDE）を導出する。これにより、系ハミルトニアン $ H $、結合演算子 $ L $、場消滅演算子を用いてダイナミクスをモデル化する。
• ボソン場の四分位表現を導入することで、系および物理実現可能性条件の実行列形式の表現が可能になる。
• 系行列 $ G_1, G_2, F $ に関する条件を通じて物理実現可能性を定義し、系がユニタリに進化し、量子構造を保存することを保証する。
• 行列の恒等式およびベクトル化技術（$ ext{vec}^{-1} $ を用いて）を適用し、演算子方程式を解析可能な行列方程式に変換する。
• 補題3および $ heta $-写像の性質を用いて、物理実現可能性を特徴付ける等価な行列条件（34a）–（34c）を導出する。
• 物理実現可能性が、交換子行列が時間的に一定のまま保たれることを示すことにより、物理実現可能性がパウリ交換関係を保存することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双線形QSDEで記述されるオープン2レベル量子系において、パウリ交換関係が時間的に保存されるための条件は何か？
• RQ2 状態依存の交換関係を持つ非線形で双線形のQSDEに対して、物理実現可能性はどのように特徴付けられるか？
• RQ3 スピン系における物理実現可能性と量子交換関係の保存との関係は何か？
• RQ4 物理実現可能性条件を四分位場の観点から再定式化することで、実行列形式の表現が得られるか？
• RQ5 物理実現可能性は、オープン2レベル系においてユニタリな進化と一貫した量子ダイナミクスを保証するか？

主な発見

• パウリ交換関係を保存するための必要十分条件が導出され、$ G_1, G_2, F $ を含む行列方程式（34a）–（34c）で表現される。
• 条件（34a）–（34c）によって定義される物理実現可能性は、すべての時間においてスピン演算子の標準交換関係が保存されることを保証する。
• 物理実現可能性条件が四分位場を用いて再定式化され、系およびその制約の自己随伴的実行列形式の表現が得られる。
• 条件 $ F^T + F + G_1 G_1^T + G_2 G_2^T = 0 $ が、交換子保存に必要なトレース条件 $ ext{Tr}(F) = rac{1}{2}( ext{Tr}(G_1^2) + ext{Tr}(G_2^2)) $ と同値であることが示された。
• 証明により、物理実現可能性条件が成立するならば、交換子行列 $ [x, x^ op] $ が時間的に一定のまま保たれることを示した。これにより一貫した量子ダイナミクスが保証される。
• 本稿は、物理実現可能性が、QSDEがユニタリかつ物理的に実現可能であるような有効なハミルトニアン $ H $ および結合演算子 $ L $ の存在を保証することを確立した。