[論文レビュー] Prevalence of $ ho$-irregularity and related properties

Lucio Galeati, Massimiliano Gubinelli|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 51被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、一般の Hölder 連続関数が $\rho$-不規則的であることを、普遍性の概念を用いて示す。これにより、確率的仮定を必要としないODEおよびPDEにおけるノイズによる正則化結果が得られる。主な貢献は、$\rho$-不規則性がHölder空間において普遍的であることを証明し、摂動の特定の確率的性質を仮定しないで、適切な解の存在を保証できることを示している。

ABSTRACT

We show that generic H\\"older continuous functions are $\ ho$-irregular. The property of $\ ho$-irregularity has been first introduced by Catellier and Gubinelli (Stoc. Proc. Appl. 126, 2016) and plays a key role in the study of well-posedness for some classes of perturbed ODEs and PDEs. Genericity here is understood in the sense of prevalence. As a consequence we obtain several results on regularisation by noise "without probability", i.e. without committing to specific assumptions on the statistical properties of the perturbations. We also establish useful criteria for stochastic processes to be $\ ho$-irregular and study in detail the geometric and analytic properties of $\ ho$-irregular functions.

研究の動機と目的

• Hölder連続関数の空間における$\rho$-不規則性の普遍性を確立し、特定の確率的仮定に依存しないこと。
• 測度論的確率論に代わる普遍性の概念を用いて、ODEおよびPDEにおけるノイズによる正則化の非確率的枠組みを提供すること。
• 分数 Browm運動や$\alpha$-安定過程などの確率過程に適用可能な$\rho$-不規則性のための基準を開発すること。
• $\rho$-不規則関数の解析的および幾何的性質（特にフーリエ次元と粗さ）を分析すること。
• 平均化場作用素$T^w b$を通じて、$\rho$-不規則性と摂動付きODEおよびPDEの適切な解の存在との関係を確立すること。

提案手法

• 無限次元空間における「ほとんどすべての」経路を定義するため、測度論的普遍性の概念——確率測度を用いずに——を用いる。
• CatellierとGubinelli（2016）のフレームワークを応用し、Young積分とノイズによる正則化を扱う。特に、平均化場$T^w b(t,x) = \int_0^t b(s, x + w_s) \, ds$に注目する。
• 関数の正則性を特徴付けるために、Fourier–Lebesgue空間$\mathcal{F}L^{\alpha,p}$を用い、解析に不可欠な埋め込みおよび畳み込み性質を導出する。
• モーメント推定とBorell–Sudの不等式を用いて、$\rho$-不規則経路の滞在測度の指数的可積分性を導出する。
• ガウス過程（例：分数 Browm運動）の局所非決定性および自己相似性の性質を応用し、特定のクラスの$\rho$-不規則性を検証する。
• 一般化されたHölderの不等式およびFourier–Lebesgue空間における$L^p$-埋め込みを用いて、畳み込みの連続性と正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hölder連続関数の空間において、$\rho$-不規則経路は一般に成立するのか？ もしそうなら、どのような意味で？
• RQ2 摂動の特定の確率的構造を仮定しないで、ODEおよびPDEにおけるノイズによる正則化結果を確立できるか？
• RQ3 ガウス過程および$\alpha$-安定過程に対して、$\rho$-不規則性を満たすための必要十分条件は何か？
• RQ4 $\rho$-不規則関数の幾何的および解析的性質（例：フーリエ次元、粗さ）は、正則化における役割とどのように関係するか？
• RQ5 $\rho$-不規則性と摂動付きODE $x_t = x_0 + \int_0^t b(s,x_s)\,ds + w_t$ の適切な解の存在との関係は何か？

主な発見

• Hölder連続関数の空間において、一般の関数は普遍性の意味で$\rho$-不規則的である。これは、関数空間における普遍的集合で性質が成り立つことを意味する。
• 平均化場作用素$T^w b$は、$\rho$-不規則経路と関連付けられ、ベクトル場$b$が不規則であっても摂動付きODEの適切な解の存在を保証する。
• $\rho$-不規則経路の滞在測度の指数的可積分性が、モーメント推定とBorell–Sudの不等式を用いて確立された。
• Hurst指数$H < 1/2$の分数 Browm運動は$\rho$-不規則的であり、この性質は$\beta$-eSLNDおよび$\beta$-LNDガウス過程に拡張可能である。
• Fourier–Lebesgue空間$\mathcal{F}L^{\alpha,p}$を用いることで、埋め込みおよび畳み込みの精密な推定が可能となり、平均化場の正則性の証明に不可欠な役割を果たす。
• $\rho$-不規則関数のクラスは、全フーリエ次元を持つ経路を含み、連続関数空間においても稠密であるため、その粗さと不規則性が明確に示されている。