[論文レビュー] Prime congruences of idempotent semirings and a Nullstellensatz for tropical polynomials

Dániel Joó, Kalina Mincheva|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、捩じれ積を用いて加法的冪等な半環における素合同束の新しい概念を導入し、${\mathbb{T}}$、${\mathbb{Z}}_{\max}$、または ${\mathbb{B}}$ 上の多項式またはローレンツ多項式半環における有限生成合同束の根が、クルール次元が1以下の商を持つ素合同束の共通部分集合であることを示すことによって、トロピカル・ヌルステーレンツを確立する。最小素合同束は単項式順序と対応し、一般化された捩じれ累乗公式によって根が特徴づけられる。

ABSTRACT

A new definition of prime congruences in additively idempotent semirings is given using twisted products. This class turns out to exhibit some analogous properties to the prime ideals of commutative rings. In order to establish a good notion of radical congruences it is shown that the intersection of all primes of a semiring can be characterized by certain twisted power formulas. A complete description of prime congruences is given in the polynomial and Laurent polynomial semirings over the tropical semifield ${\pmb T}$, the semifield $\mathbb{Z}_{max}$ and the two element semifield $\mathbb{B}$. The minimal primes of these semirings correspond to monomial orderings, and their intersection is the congruence that identifies polynomials that have the same Newton polytope. It is then shown that every finitely generated congruence in each of these cases is an intersection of prime congruences with quotients of Krull dimension $1$. An improvement of a result of A. Bertram and R. Easton from 2013 is proven which can be regarded as a Nullstellensatz for tropical polynomials.

研究の動機と目的

• 加法的冪等な半環における素合同束の強固な概念を構築し、可換環における古典的素イデアルに類似した性質を持つようにすること。
• 合同束の根を、クルール次元が1以下の商を持つ素合同束の共通部分集合として特徴づけること。
• 合同束の根とニュートン多面体や単項式順序といった幾何的・組合せ論的データを結びつけることによって、トロピカル・ヌルステーレンツを確立すること。
• すべての素合同束の共通部分集合が、一般化された捩じれ累乗公式によって記述できることを示すこと。
• ${\mathbb{T}}$、${\mathbb{Z}}_{\max}$、${\mathbb{B}}$ 上の多項式およびローレンツ多項式半環における素合同束の完全な分類を提供すること。

提案手法

• 環論的素イデアルの特徴づけにインspiredして、合同束の外側にあるペアの捩じれ積の非属性を用いて素合同束を定義する。
• 合同束の根への属性を特徴づけるために、一般化された捩じれ累乗公式を導入する。
• 単項式順序に関連する定義行列を用いて、多項式およびローレンツ多項式半環における素合同束を分類する。
• ロッビアーノの単項式順序の分類を応用し、最小素合同束がそれらの順序と対応することを示す。
• 重みベクトルの摂動論的議論を用いて、有限生成合同束の根が、クルール次元 ≤1 の素合同束の共通部分集合であることを証明する。
• ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$ において、$E_+ = \mathbf{E}(V(E))$ を示すことによって、幾何的零点集合と代数的根の間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的冪等な半環における素合同束は、可換環における素イデアルに類似した性質を反映するように、どのように再定義できるか？
• RQ2 ${\mathbb{T}}$、${\mathbb{Z}}_{\max}$、${\mathbb{B}}$ 上の多項式およびローレンツ多項式半環における素合同束の構造は何か？
• RQ3 有限生成合同束の根は、次元が低い商を持つ素合同束の共通部分集合として特徴づけられるか？
• RQ4 代数的根とトロピカル多項式の零点集合を結びつける、トロピカル版のヌルステーレンツは存在するか？
• RQ5 ニュートン多面体と単項式順序は、素合同束および合同束の根の構造とどのように関係するか？

主な発見

• ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$、${\mathbb{Z}}_{\max}[\mathbf{x}]$、または ${\mathbb{B}}[\mathbf{x}]$ における有限生成合同束の根は、クルール次元が1以下の商を持つすべての素合同束の共通部分集合に等しい。
• これらの半環における最小素合同束は、単項式順序と双対的に対応し、商のクルール次元に等しい行数を持つ定義行列によって分類される。
• 半環におけるすべての素合同束の共通部分集合は、ある一般化された捩じれ累乗のペアが合同束に属するという条件によって特徴づけられる。
• ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$ において、$(1,\epsilon)$ を含まないすべての素合同束の共通部分集合として定義される合同束 $E_+$ は $\mathbf{E}(V(E))$ に等しくなる。これによりトロピカル・ヌルステーレンツが確立される。
• 自明な合同束 $\Delta$ に対して、根 $Rad(\Delta)$ は $\Delta_+$ に等しく、これは $(1,\epsilon)$ を含まないすべての素合同束の共通部分集合に等しく、これは同じニュートン多面体を持つ多項式のペアの集合に等しい。
• ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$ において、幾何的合同束 $\mathbf{E}(V(E))$ は $E_+$ と一致する。これは、この設定において代数的根と幾何的根が一致することを示している。