[論文レビュー] Prime number races for elliptic curves over function fields

Byungchul Cha, Daniel Fiorilli+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用数 3

ひとこと要約

本稿は関数体上の楕円曲線における素数のレースを研究し、Frobeniusトレースの分布におけるバイアスについて、条件なしの結果を証明する。一般の族では、中心極限定理とL関数の零点の一般線形独立性により、導手が大きくなるにつれてバイアスが消失するが、Ulmerの族のような特別な族では、零点の依存性により強い非一般のバイアスが持続する。

ABSTRACT

We study the prime number race for elliptic curves over the function field of a proper, smooth and geometrically connected curve over a finite field. This constitutes a function field analogue of prior work by Mazur, Sarnak and the second author. In this geometric setting we can prove unconditional results whose counterparts in the number field case are conditional on a Riemann Hypothesis and a linear independence hypothesis on the zeros of the implied L-functions. Notably we show that in certain natural families of elliptic curves, the bias generically dissipates as the conductor grows. This is achieved by proving a central limit theorem and combining it with generic linear independence results that will appear in a separate paper. Also we study in detail a particular family of elliptic curves that have been considered by Ulmer. In contrast to the generic case we show that the race exhibits very diverse outcomes, some of which are believed to be impossible in the number field setting. Such behaviors are possible in the function field case because the zeros of Hasse-Weil L-functions for those elliptic curves can be proven to be highly dependent among themselves, which is a very non generic situation.

研究の動機と目的

• Mazur, Sarnak, Fiorilliらの数体における先行研究を拡張し、関数体上の楕円曲線における素数のレースを調査すること。
• Hasse-Weil L関数の解析的性質に依存する、Frobeniusトレース（正 vs. 負）の分布におけるバイアスの性質を理解すること。
• 標準的仮定下で数体では不可能とされる、極めて偏ったレースが関数体設定で生じ得るかどうかを特定すること。
• 一般族では導手が大きくなるにつれてバイアスが消失することを確立し、数体における条件付き結果と対比すること。
• Ulmerの楕円曲線族を分析し、非一般の零点依存性が持続的かつ極端なバイアスを生じることを明らかにすること

提案手法

• Rubinstein-Sarnakフレームワークの関数体版を用いて、π(x; q, a) > π(x; q, b) となる集合の対数密度を用いてバイアスを定量化する。
• 関数体上の楕円曲線族におけるFrobeniusトレースの中心極限定理を適用し、バイアスが1/2に収束することを示す。
• 同伴の研究で証明されたL関数の非自明零点の一般線形独立性を活用し、一般族では持続的バイアスが排除されることを示す。
• 関数方程式を用いてL関数の零点構造を分析し、たとえばγ_jと2π - γ_jのような自明な関係が非一般の依存性を引き起こすことを同定する。
• 指数和と導手の増加を用いて、零点間に非自明な関係を持つ曲線の数の上限を評価し、非一般ケースの密度を推定する。
• これらの上限をCorollary 4.6と組み合わせ、線形独立性が破れるか、またはランク≥2である曲線がまれであることを示し、一般にバイアスが消失することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体上の楕円曲線における素数のレースは、強い持続的バイアスを示しうるか。そのような状況はどのような条件下で生じるか？
• RQ2 関数体上の一般族における導手が大きくなるにつれて、Frobeniusトレースの符号分布におけるバイアスはどのように変化するか？
• RQ3 特定の族（例：Ulmerの族）が数体の場合には見られない極端なバイアスを示すのはなぜか。そのL関数の構造的性質はどのようなものか？
• RQ4 Hasse-Weil L関数の零点間の依存性は、関数体設定におけるFrobeniusトレース分布にどの程度影響を及ぼすか？
• RQ5 数体の類似ではGRHやLIを仮定する必要があるが、関数体設定ではそれらを仮定せず、バイアスに関する条件なしの結果を得られるか？

主な発見

• 関数体上の一般族における楕円曲線では、Frobeniusトレースの正負のレースにおけるバイアスは、導手が大きくなるにつれて消失し、対数密度は1/2に収束する。
• Frobeniusトレースの中心極限定理により、正規化されたトレースの分布はガウス分布に近づき、極限ではバイアスが消える。
• L関数の零点間に非自明な関係を持つ曲線の割合は、O(n q^{-n d^{-2}(14 + b_E/d)^{-1}} log q) で抑えられ、nとともに急速に減少する。
• Ulmerの族では、非一般の零点依存性が持続的かつ極端なバイアスを引き起こし、その一部は数体の場合には不可能であると信じられている。
• このような強いバイアスの存在は、この族のL関数の零点が非常に依存的であることに起因しており、これは非一般的かつ一般には証明的にまれな状況である。
• 関数体設定ではGRHやLIを仮定せず、条件なしの結果を得ることができたのに対し、数体の類似ではそれらが必要となる。