[論文レビュー] The summatory function of the Möbius function in function fields

Byungchul Cha|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2010

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Mertens関数の成長に関するNgの予想の関数体版を確立し、有限体上の曲線の除数におけるリーマン・ゼータ関数の逆零点のモービウス関数の和関数に対して境界を導出する。線形独立性（LI）性質が成り立つと、その境界は鋭くなる。さらに、普遍的双曲的曲線族上のこの境界の幾何平均は、ランダムなユニタリ・シンプレクティック行列の特徴多項式のモーメントの期待値と漸近的に一致することが示される。

ABSTRACT

We study the growth rate of the summatory function of the Möbius function in the context of an algebraic curve over a finite field. Our work shows a strong resemblance to its number field counterpart, which was proved by Ng in 2004. We find an expression for a bound of the summatory function, which becomes sharp when the zeta zeros of the curve satisfy a certain linear independence property. Extending a result of Kowalski in 2008, we prove that most curves in the family of universal hyperelliptic curves satisfy this property. Then, we consider a certain geometric average of such bound in this family, using Katz and Sarnak's reformulation of the equidistribution theorem of Deligne. Lastly, we study an asymptotic behavior of this average as the family gets larger by evaluating the average values of powers of characteristic polynomials of random unitary symplectic matrices.

研究の動機と目的

• Mertens関数 $ M(x) $ の成長に関するNgの確率的予想の関数体版を構築すること。
• 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上の曲線の有効除数におけるモービウス関数の和関数 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) $ を分析すること。
• ゼータ関数の零点の線形独立性（LI）性質のもとで、$ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) $ の鋭い境界を確立すること。
• KatzとSarnakの等分布定理を用いて、普遍的双曲的曲線族上のこの境界の幾何平均を計算すること。
• この平均の漸近的挙動を、ランダムなユニタリ・シンプレクティック行列の特徴多項式のモーメントの期待値と関連付けること。

提案手法

• 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上の曲線 $ C $ の有効除数 $ D $ におけるモービウス関数 $ \mu_{C/\mathbb{F}_q}(D) $ を定義し、数体におけるモービウス関数の一般化を行う。
• 和関数 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) = \sum_{\deg D \leq X} \mu_{C/\mathbb{F}_q}(D) $ を導入し、漸近的境界 $ M_{C/\mathbb{F}_q}(X) = O(X^{r-1} q^{X/2}) $ を得る。ここで $ r $ は逆ゼータ零点の最大位数である。
• 量 $ B(C/\mathbb{F}_q) = \limsup_{X\to\infty} \frac{M_{C/\mathbb{F}_q}(X)}{q^{(X+1)/2}} $ を定義し、すべての逆零点が単純であるとき、これは有限である。
• 線形独立性（LI）性質を導入する：逆ゼータ零点 $ \gamma_j = \sqrt{q} e^{i\theta_j} $ の偏角 $ \theta_j $ が $ \mathbb{Q} $ 上で線形独立であり、$ \pi $ を含む。
• KatzとSarnakによるデレジュ・等分布定理の再定式化を用いて、曲線族上の $ B(C/\mathbb{F}_q) $ の幾何平均を研究する。
• Weylの積分公式とDeift-Its-Krasovskyの漸近展開を用いて、ランダムな $ U \in \mathrm{USp}(2N,\mathbb{C}) $ に対する $ |\mathcal{Z}_U(\theta)| $ の期待値を計算し、平均の漸近的挙動を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体における除数上のモービウス関数の和関数の鋭い境界は何か？ そして、いつ達成されるか？
• RQ2 ゼータ関数の零点の線形独立性性質は、関数体におけるモービウス和関数の成長率にどのように影響するか？
• RQ3 普遍的双曲的曲線族上の境界 $ B(C/\mathbb{F}_q) $ の幾何平均は何か？
• RQ4 この幾何平均は、ランダムなユニタリ・シンプレクティック行列の特徴多項式のモーメントの期待値とどのように関係するか？
• RQ5 平均の漸近的挙動はランダム行列理論を用いて計算可能か？ そして、主要項は何か？

主な発見

• 曲線が線形独立性性質を満たすとき、境界 $ D(C/\mathbb{F}_q) = \frac{1}{q^{1/2}} \sum_{\gamma} \left| \frac{\gamma}{Z_\gamma} \right| $ は鋭くなる。
• Kowalskiの結果が拡張され、普遍的双曲的曲線族のほとんどすべての曲線が線形独立性性質を満たすことが示される。
• 幾何平均 $ B(C/\mathbb{F}_q) $ は、$ \mathrm{USp}(2N,\mathbb{C}) $ 上での $ |\mathcal{Z}_U(\theta)| $ の期待値 $ \mathcal{I}(N) $ と漸近的に等価である。
• 漸近的表現 $ \mathcal{I}(N) $ は、$ N \to \infty $ のとき $ \sqrt{2} G(\frac{1}{2})^2 N^{1/4} \int_0^\pi (\sin\theta)^{1/4} (1 + o(1)) \, d\theta $ として導出される。
• 漸近的公式における誤差項は $ \theta $ に関して一様収束しないため、積分内での極限交換を正当化するには精緻な解析が必要である。
• 幾何平均の主要項の漸近的挙動は、$ \sim C N^{1/4} $ であることが示され、ここで $ C $ はBarnesのG関数を含む定数である。