[論文レビュー] Prisms and Prismatic Cohomology

Bhargav Bhatt, Peter Scholze|arXiv (Cornell University)|May 20, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、完全体的環の変形としてのプリズムを、統一的な $p$-進コホモロジー理論の基盤的枠組みとして導入する。$p$-進形式的スキームに対して、プリズム・サイトと呼ばれるリング付きサイトを構成することで、著者たちはプリズムコホモロジーがエタール、ド・ラーム、クリスタリンコホモロジーといった既知の理論に特殊化され、それらを精緻化することを示した。さらに、$p$-進テートねじれの奇数次元の消滅に関する重要な予想や、$q$-ド・ラームコホモロジーの座標不変な記述を証明した。

ABSTRACT

We introduce the notion of a prism, which may be regarded as a "deperfection" of the notion of a perfectoid ring. Using prisms, we attach a ringed site -- the prismatic site -- to a $p$-adic formal scheme. The resulting cohomology theory specializes to (and often refines) most known integral $p$-adic cohomology theories. As applications, we prove an improved version of the almost purity theorem allowing ramification along arbitrary closed subsets (without using adic spaces), give a co-ordinate free description of $q$-de Rham cohomology as conjectured by the second author, and settle a vanishing conjecture for the $p$-adic Tate twists $\mathbf{Z}_p(n)$ introduced in previous joint work with Morrow.

研究の動機と目的

• プリズムを完全体的環の『脱完備化』として用いることで、$p$-進コホモロジー理論の新しい統一的枠組みを構築すること。
• $p$-進形式的スキームに対して、リング付きサイト（プリズム・サイト）を構築し、一般のコホモロジー理論を可能にすること。
• アディック空間に依存せずに、任意の閉部分集合に沿った分岐を許容する一般化されたほぼ純粋性定理を証明すること。
• ショルツェが予想した通り、$q$-ド・ラームコホモロジーの座標不変な記述を提供すること。
• $K$-理論における $p$-進テートねじれ $\mathbf{Z}_p(n)$ の奇数次元消滅予想を解決すること。

提案手法

• $(A, I)$ を、$A$ が $\delta$-環で、$I \subset A$ が $A$ における $(p,I)$-完備かつ $I + \phi_A(I)A \supset p$ を満たすようなペアとして定義する。ここで $\phi_A$ はフロベニウスの持ち上げである。
• 平滑な $p$-進形式的スキーム $X$ を $A/I$ 上にとったとき、$((X/A)_{\mathrm{prism}})$ をプリズム・サイトとし、構造層の導来全体切断としてプリズムコホモロジーを定義する。
• $\delta$-環およびその完備化の理論を用い、関手 $A \mapsto A/I$ および $R \mapsto (A_{\mathrm{inf}}(R), \ker \theta)$ を通じて、プリズムと完全体的環との関係を確立する。
• 特徴 $p$ および混合特徴の両方において、ホッジ＝テート比較同型を確立し、プリズムコホモロジーとド・ラームおよびクリスタリンコホモロジーを結びつける。
• エタール比較定理および一般化されたほぼ純粋性定理を証明し、アディック幾何学を用いずに任意の閉部分集合に沿った分岐を許容する。
• ニャイヤー層のフィルトレーションおよび $q$-変形を用いて $q$-クリスタリンおよび $q$-ド・ラームコホモロジーを記述し、$\mathbf{Z}_p(n)$ の奇数次元消滅予想を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタール、ド・ラーム、クリスタリンコホモロジーといった既知の $p$-進コホモロジー理論を統一する、1つのコホモロジー理論をどのように構築できるか？
• RQ2 アディック幾何学を用いずに、任意の閉部分集合に沿った分岐を許容する、ほぼ純粋性定理を拡張することは可能か？
• RQ3 ショルツェの予想する通り、$q$-ド・ラームコホモロジーに座標不変な記述は存在するか？
• RQ4 $K$-理論において、$p$-進テートねじれ $\mathbf{Z}_p(n)$ の奇数次元消滅予想は成り立つか？
• RQ5 プリズムコホモロジーとバッハ＝モーロウ＝ショルツェの $A\Omega$ コホモロジーとの正確な関係は何か？

主な発見

• プリズムコホモロジーは、エタール、ド・ラーム、クリスタリン、$q$-ド・ラームコホモロジーを含む、すべての既知の整数的 $p$-進コホモロジー理論に特殊化され、それらを精緻化する。
• 完全プリズムの圏は、完全体的環の圏と同値であり、プリズムが完全体的環の『脱完備化』であることを確立する。
• 著者たちは、アディック空間を必要とせず、任意の閉部分集合に沿った分岐を許容する一般化されたほぼ純粋性定理を証明した。
• $(\mathbf{Z}_p[[q-1]], ([p]_q))$ というプリズムを用いて、$q$-ド・ラームコホモロジーの座標不変な記述が確立され、ショルツェの予想が確認された。
• $\mathbf{Z}_p(n)$ の奇数次元消滅予想は解決された：$R$ が完全体的環であれば、$H^i_{\mathrm{ét}}(\operatorname{Spec} R, \mathbf{Z}_p(n)) = 0$ が $i \neq 2n$ かつ $n$ が奇数のとき成り立つ。
• $A/I$ 上の平滑な形式的スキームのプリズムコホモロジーは、$\mathbbl{\Delta}_{S/A} \cong A_{\mathrm{inf}}(S)\{\frac{g_1}{d}, \dots, \frac{g_r}{d}\}^\wedge$ として計算可能であり、ここで $g_i$ は $p$-完全正則列における $f_i$ の.liftである。