[論文レビュー] Private Set Intersection: A Multi-Message Symmetric Private Information Retrieval Perspective

Zhusheng Wang, Karim Banawan+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Cryptography and Data Security参考文献 63被引用数 21

ひとこと要約

この論文は、プライベートセットインターセクション（PSI）問題を、複数メッセージ対称プライベート情報検索（MM-SPIR）問題に再定式化し、$ P \leq K-1 $ の条件下で、MM-SPIRの情報理論的和容量を $ C_{\text{MM-SPIR}} = 1 - \frac{1}{N} $ として導出している。PSIの最適ダウンロードコストは $ \min\left\{\left\lceil\frac{P_1N_2}{N_2-1}\right\rceil, \left\lceil\frac{P_2N_1}{N_1-1}\right\rceil\right\} $ で与えられる。提案された方式は、単一メッセージSPIR方式の逐次的使用を必要とせず、容量を達成する。

ABSTRACT

We study the problem of private set intersection (PSI). In this problem, there are two entities $E_i$, for $i=1, 2$, each storing a set $\mathcal{P}_i$, whose elements are picked from a finite field $\mathbb{F}_K$, on $N_i$ replicated and non-colluding databases. It is required to determine the set intersection $\mathcal{P}_1 \cap \mathcal{P}_2$ without leaking any information about the remaining elements to the other entity with the least amount of downloaded bits. We first show that the PSI problem can be recast as a multi-message symmetric private information retrieval (MM-SPIR) problem. Next, as a stand-alone result, we derive the information-theoretic sum capacity of MM-SPIR, $C_{MM-SPIR}$. We show that with $K$ messages, $N$ databases, and the size of the desired message set $P$, the exact capacity of MM-SPIR is $C_{MM-SPIR} = 1 - \frac{1}{N}$ when $P \leq K-1$, provided that the entropy of the common randomness $S$ satisfies $H(S) \geq \frac{P}{N-1}$ per desired symbol. This result implies that there is no gain for MM-SPIR over successive single-message SPIR (SM-SPIR). For the MM-SPIR problem, we present a novel capacity-achieving scheme that builds on the near-optimal scheme of Banawan-Ulukus originally proposed for the multi-message PIR (MM-PIR) problem without database privacy constraints. Surprisingly, our scheme here is exactly optimal for the MM-SPIR problem for any $P$, in contrast to the scheme for the MM-PIR problem, which was proved only to be near-optimal. Our scheme is an alternative to the SM-SPIR scheme of Sun-Jafar. Based on this capacity result for MM-SPIR, and after addressing the added requirements in its conversion to the PSI problem, we show that the optimal download cost for the PSI problem is $\min\left\{\left\lceil\frac{P_1 N_2}{N_2-1} ight ceil, \left\lceil\frac{P_2 N_1}{N_1-1} ight ceil ight\}$, where $P_i$ is the cardinality of set $\mathcal{P}_i$

研究の動機と目的

• MM-SPIR問題の情報理論的容量を独立した問題として同定すること。
• 追加制約を伴うMM-SPIR問題としてモデル化することで、プライベートセットインターセクション（PSI）の根本的限界を確立すること。
• 単一メッセージSPIR方式の逐次的使用を上回る性能を示す、MM-SPIRの容量を達成する方式を設計すること。
• 情報理論的プライバシー保証のもとでのPSIの最適ダウンロードコストを特定すること。

提案手法

• 各セット要素をメッセージとしてモデル化し、インターセクションを所望するメッセージ集合として、PSI問題をMM-SPIR問題に再定式化する。
• 情報理論的逆問題の議論を用いてMM-SPIRの和容量を導出し、$ P \leq K-1 $ かつ 1シンボルあたりの共通ランダムネスのエントロピーが $ H(S) \geq \frac{P}{N-1} $ であるとき、$ C_{\text{MM-SPIR}} = 1 - \frac{1}{N} $ を示す。
• BanawanとUlu?usの近似的に最適なMM-PIR方式に着想を得た、新しい容量達成方式を提案し、データベースプライバシー制約を満たすように適応する。
• 従来のMM-PIR方式が近似的に最適であったのに対し、本方式はMM-SPIRに対して正確に最適であることを示す。
• 対称的プライバシーとセットメンバーシップリクエストの追加制約を組み込むことで、MM-SPIR容量結果をPSIに適用する。
• 達成可能性と逆問題の証明により方式を検証し、容量の観点では単一メッセージSPIR方式の逐次的使用に上回る利点がないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 K個のメッセージ、N個のデータベース、所望するメッセージ集合のサイズがPであるMM-SPIR問題の情報理論的容量は何か？
• RQ2 MM-SPIR問題は、逐次的単一メッセージSPIR方式を上回る容量を達成できるか、それとも共同リクエストには利点がないか？
• RQ3 MM-SPIRフレームワークを用いてプライベートセットインターセクション（PSI）問題を最適に解く方法は何か？ また、最小ダウンロードコストは何か？
• RQ4 既存のMM-PIR構成から自然に拡張可能な、MM-SPIRの容量を達成する方式は存在するか？
• RQ5 i.i.d. 要素選択仮定が、容量結果および逆問題証明の一般性に与える影響は何か？

主な発見

• P \leq K-1 の条件下で、共通ランダムネスのエントロピーが1所望シンボルあたり $ H(S) \geq \frac{P}{N-1} $ を満たすとき、MM-SPIR問題の和容量は $ C_{\text{MM-SPIR}} = 1 - \frac{1}{N} $ である。
• P = K の場合、すべてのメッセージが所望されるため、MM-SPIR容量は自明に 1 である。
• 提案されたMM-SPIR方式は、従来のMM-PIR方式が近似的に最適であったのに対し、すべてのPに対して正確に最適である。
• PSI問題の最適ダウンロードコストは $ \min\left\{\left\lceil\frac{P_1N_2}{N_2-1}\right\rceil, \left\lceil\frac{P_2N_1}{N_1-1}\right\rceil\right\} $ で与えられ、ここで $ P_i $ は集合 $ \mathcal{P}_i $ のサイズを表す。
• 単一メッセージSPIR方式の逐次的使用に依存せず、統合的かつより効率的なソリューションを提供する。
• アップロードコスト削減の例として、2データベース、3メッセージのSPIRインスタンスにおいて、アップロードコストを6ビットから4ビットに削減でき、ダウンロードコストに影響を与えない。