[論文レビュー] Pro-' birational anabelian geometry over algebraically closed elds I

Florian Pop|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、有限体の代数的閉包上のトランセンドental次元が2以上の関数体を、そのpro-lガロア群を用いて函手的に再構成することを確立している。絶対ガロア群の構造を分析し、双有理的アーベル幾何のpro-l版を活用することで、著者らは関数体がそのpro-lガロア理論から完全に回復可能であることを示し、代数的閉体上での高次元関数体へのアーベル幾何の拡張を達成した。

ABSTRACT

We consider function fields of transcendence degree at least 2 over algebraic closures of finite fields, and describe a functorial way to recover such function fields form their pro-l Galois theory.

研究の動機と目的

• 代数的閉体上でのトランセンドental次元が≥2の関数体への双有理的アーベル幾何の拡張を図ること。
• このような関数体のpro-lガロア群が、函手的にその体構造を決定するかを調査すること。
• 代数的閉体上での高次元関数体に対して、pro-l双有理的アーベル定理を確立すること。
• pro-l設定における絶対ガロア群から関数体を函手的に再構成すること。

提案手法

• 再構成の主な不変量として、関数体のpro-lガロア群を用いる。
• 代数的閉体上での高次元多様体の文脈において、pro-l基本群の理論を適用する。
• 関数体をそのガロア群から回復するために、双有理的アーベル定理のpro-l版を用いる。
• 関数体の函手的再構成にあたり、絶対ガロア群の構造に依存する。
• ガロア群がエタール基本群に作用する様子を分析し、体論的データを抽出する。
• トランセンドental次元が2以上の場合、関数体がそのpro-lガロア群によって決定されることを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体の代数的閉包上のトランセンドental次元が≥2の多様体の関数体は、そのpro-lガロア群から再構成可能か？
• RQ2 このような体の再構成が、単にpro-lガロア理論のみを用いて函手的に行えるか？
• RQ3 代数的閉体上での高次元関数体に対して、双有理的アーベル幾何のpro-l版は成立するか？
• RQ4 pro-lガロア群の構造が、関数体の体論的データをどのように符号化しているか？
• RQ5 ガロア群のどの不変量が、体を同型を除いて決定するか？

主な発見

• 関数体は、函手的にそのpro-lガロア群から完全に再構成可能である。
• 再構成は、有限体の代数的閉包上のトランセンドental次元が2以上の関数体に対して成立する。
• pro-lガロア群は、体構造を同型を除いて決定する。
• この方法は、pro-l双有理的アーベル定理に依存しており、既知の結果を高次元に拡張する。
• この結果は、代数的閉体上での高次元関数体におけるpro-l設定での強い形のアーベル性を確立する。
• 再構成の函手性により、体の同型は、対応するガロア群の同型と整合的である。