[論文レビュー] Probabilistic local well-posedness of the cubic nonlinear wave equation in negative Sobolev spaces

Tadahiro Oh, Oana Pocovnicu+1 more|Edinburgh Research Explorer (University of Edinburgh)|Apr 15, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 49被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、スケーリング臨界正則性より低い負のソボレフ空間における非線形波動方程式（NLW）の定性的な局所的適切性を、確率的手法と確率的初期データを用いて確立する。s < 1/2 では決定論的には不適切であるが、初期データを確率化することで、2次展開と再正規化を用いることで、解がほとんど確実に定義され続けることを示す。さらに、再正規化を行わない場合、初期データを滑らかにした際に解が分布的意味でゼロに収束することを示し、自明性の現象を明らかにする。

ABSTRACT

We study the three-dimensional cubic nonlinear wave equation (NLW) with random initial data below $L^2(\mathbb{T}^3)$. By considering the second order expansion in terms of the random linear solution, we prove almost sure local well-posedness of the renormalized NLW in negative Sobolev spaces. We also prove a new instability result for the defocusing cubic NLW without renormalization in negative Sobolev spaces, which is in the spirit of the so-called triviality in the study of stochastic partial differential equations. More precisely, by studying (un-renormalized) NLW with given smooth deterministic initial data plus a certain truncated random initial data, we show that, as the truncation is removed, the solutions converge to $0$ in the distributional sense for any deterministic initial data.

研究の動機と目的

• 立方非線形波動方程式（NLW）の局所的適切性を、スケーリング臨界正則性 s = 1/2 より低い負のソボレフ空間に拡張すること。
• s < 1/2 の H^s 初期データにおける NLW の不適切性を、パrameter α を持つ確率的初期データを導入することで解決すること。
• α > 3/2 のとき、H^s における再正規化された NLW のほとんど確実な局所的適切性を s < α − 3/2 に対して確立すること。
• 新しい不安定性結果の確立：滑らかな決定論的初期データに切り捨てられた確率的データを加えた再正規化なしの NLW は、切り捨てを除去する際に分布的意味でゼロに収束する。
• 再正規化なしの NLW の極限力学が、確率的偏微分方程式における現象と同様に、負のソボレフ空間で自明であることを示すこと。

提案手法

• 実数値性を満たすように条件付けた独立同一分布のガウス係数を有するフーリエ級数を用いて、確率的初期データを構築し、正則性パrameter α を導入する。
• 2次展開を用いて、解を z1（線形確率的部）、z2（2次確率的項）、wN（剰余項）に分解する。
• 低正則性の確率的初期データに起因する発散を制御するため、立方非線形項に再正規化を適用する。
• パrameter を持つウィenerカオス推定とストリカルツ型推定を用いて、混合ノルム空間における確率的項を制御する。
• ダゥハメルの公式とグロワールド型の議論を用いて、X_T および L^∞_T H^1/2_x 空間における事前推定を導出する。
• 臨界ケース α = 3/2 において、収束証明における誤差項の和の収束性を保証するため、部分列の議論を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的適切性が失敗する状況において、立方非線形波動方程式が負のソボレフ空間でほとんど確実に適切であるか。
• RQ2 低正則性の確率的初期データを有する NLW における再正規化の解写像に与える影響は何か。
• RQ3 確率的初期データを負のソボレフ空間で滑らかにした際に、再正規化なしの NLW は自明な極限力学を示すか。
• RQ4 L^2(T^3) より低い初期データを確率的に変更した場合、解の構造はどのように変化するか。
• RQ5 確率的手法により、スケーリング臨界正則性 s = 1/2 より低い範囲で適切性を回復できるか。

主な発見

• α > 3/2 のとき、H^s(T^3) における再正規化された立方非線形波動方程式のほとんど確実な局所的適切性が確立される。
• s < 1/2 であっても、2次展開と再正規化を用いることで、解写像がほとんど確実に定義可能であることが示される。
• 再正規化なしの NLW に対しては、滑らかな決定論的初期データに切り捨てられた確率的データを加えた解は、切り捨てパラメータ N → ∞ の際に分布的意味でゼロに収束する。
• 剰余項 eR(T) の収束速度は、1 − C exp(−c/T^κ) の確率で C^{-δ}_N T^θ で有界であることが示され、急速な減衰を示す。
• 臨界ケース α = 3/2 において、誤差項の和の収束性を保証する十分に速い成長を示す部分列 {N_k} を用いて収束が確立される。
• 自明性結果により、再正規化なしの NLW の極限力学が負のソボレフ空間で自明であることが確認され、確率的偏微分方程式における現象と整合的である。