[論文レビュー] Probabilistic lower bounds on maximal determinants of binary matrices

Richard P. Brent, Judy-anne H. Osborn+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2015

graph theory and CDMA systems参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$h \leq n$ のハダマード行列を $d = n - h$ 行と列で拡張する構成を用いて、$n \times n$ の $\pm 1$ 行列の最大行列式に関する新しい確率的下界を確立する。$\mathcal{R}(n) = \mathcal{D}(n)/n^{n/2}$ の比が、$d$ のみに依存する正の定数で下から抑えられることを証明し、$n \to \infty$ のとき $d \geq 2$ に対して以前の下界が 0 に収束するのを改善する。主な結果として、$d \leq 3$ の場合、$\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ が得られ、ハダマード予想が成り立つならば、普遍的な下界約 0.1133 が得られる。

ABSTRACT

Let ${\mathcal D}(n)$ be the maximal determinant for $n imes n$ $\{\pm 1\}$-matrices, and $\mathcal R(n) = {\mathcal D}(n)/n^{n/2}$ be the ratio of ${\mathcal D}(n)$ to the Hadamard upper bound. Using the probabilistic method, we prove new lower bounds on ${\mathcal D}(n)$ and $\mathcal R(n)$ in terms of $d = n-h$, where $h$ is the order of a Hadamard matrix and $h$ is maximal subject to $h \le n$. For example, $\mathcal R(n) > (πe/2)^{-d/2}$ if $1 \le d \le 3$, and $\mathcal R(n) > (πe/2)^{-d/2}(1 - d^2(π/(2h))^{1/2})$ if $d > 3$. By a recent result of Livinskyi, $d^2/h^{1/2} o 0$ as $n o \infty$, so the second bound is close to $(πe/2)^{-d/2}$ for large $n$. Previous lower bounds tended to zero as $n o \infty$ with $d$ fixed, except in the cases $d \in \{0,1\}$. For $d \ge 2$, our bounds are better for all sufficiently large $n$. If the Hadamard conjecture is true, then $d \le 3$, so the first bound above shows that $\mathcal R(n)$ is bounded below by a positive constant $(πe/2)^{-3/2} > 0.1133$.

研究の動機と目的

• $n$ がハダマード順序でない場合の $n \times n$ $\{\pm 1\}$-行列の最大行列式 $\mathcal{D}(n)$ の改善された下界を確立すること。
• $d \geq 2$ のとき $n \to \infty$ に伴い $\mathcal{R}(n) = \mathcal{D}(n)/n^{n/2}$ の下界が 0 に収束するという、従来の下界の限界を克服するため、確率的手法を導入すること。
• $h$ を $n$ 以下の最大のハダマード順序とするとき、$\mathcal{R}(n)$ が $d = n - h$ のみに依存する正の定数で下から抑えられることを示し、固定された $d \geq 2$ に対して消えない下界を提供すること。

提案手法

• $h \times h$ のハダマード行列 $A$ を、$d = n - h$ 個の新しい列にランダムに $\pm 1$ の要素を追加することで拡張し、次に、シュール補行列の行列式を最大化するように $d$ 個の新しい行を決定的に埋める。
• この手法は、得られた $n \times n$ 行列 $\widetilde{A}$ における $A$ のシュール補行列の期待値 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ を、確率的行列理論の道具を用いて計算することに依存する。
• 補題 2.6 と 2.9 により、シュール補行列の平均 $\mu$ と分散 $\sigma^2$ が導出され、これらが $\widetilde{A}$ の行列式の下界を評価するために用いられる。
• $\widetilde{A}$ の行列式はシュール補行列の形で表現され、集中不等式と確率的推定を用いて $\mathcal{D}(n)$ の下界を評価できる。
• $\mu$, $\eta$, $h$ を含む不等式を用いて理論的下界を導出し、$d$ と $h$ の関数として $\mathcal{R}(n)$ の明示的下界を導出。$n \to \infty$ における漸近的解析も含む。
• 分析は、$n \to \infty$ のとき $d^2/h^{1/2} \to 0$ であることを示した Livinskyi の結果を活用し、$n$ が大きい場合でも下界が有効であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $h$ を $n$ 以下の最大のハダマード順序とするとき、$d = n - h \geq 2$ で $n \to \infty$ のとき $\mathcal{R}(n)$ の下界が 0 に収束しないような確率的手法が可能か？
• RQ2 境界付きハダマード行列のシュール補行列に基づく確率的構成を用いて、$\mathcal{R}(n)$ の最良の可能な下界は何か？
• RQ3 本稿の新しい下界は、特に $d$ が小さいときおよび $n$ が大きいとき、既存の決定的および確率的下界とどのように比較できるか？
• RQ4 ハダマード予想が $\mathcal{R}(n)$ に対して普遍的な正の下界を示すか？そして、確率的手法によりそれが証明可能か？

主な発見

• $d \leq 3$ の場合、本稿では $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ を証明し、ハダマード予想が成り立つならば、普遍的な下界約 0.1133 が得られる。
• $d > 3$ の場合、$\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2} \left(1 - d^2 (\pi/(2h))^{1/2}\right)$ が確立され、$n \to \infty$ のとき $d^2/h^{1/2} \to 0$ であるため、$(\pi e/2)^{-d/2}$ に近づく。
• $d \in \{2,3\}$ の場合、$\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ は、$n^{1/2}$ のオーダーで以前の下界よりも鋭いものであり、$d$ が固定されている限り十分大きな $n$ に対して成り立つ。
• 数値的比較により、確率的境界付加法が決定的境界付加法および小行列式法を上回ることが示され、$n=668$, $d=4$ の場合、$\mathcal{R}(n) \approx 0.0169$ であるのに対し、決定的小行列式法では約 $2.6 \times 10^{-4}$ にとどまる。
• $n \geq 135$ で $d=3$ のとき、$\mathcal{D}(n) \geq (n+1)^{(n-1)/2}$ という Koukouvinos らの下界よりも、本稿の下界 $\mathcal{R}(n) > (2/\pi e)^{d/2}$ が鋭いことが示された。
• 本稿は、$d \leq 3$ の場合、$\mathcal{R}(n)$ の下界が $n$ に依存せず $d$ のみに依存することを確認し、以前の下界が 0 に収束するのとは対照的に、顕著な改善をもたらしている。