[論文レビュー] Probability inequalities for high dimensional time series under a triangular array framework

Fang Han, Weibiao Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2019

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、標本サイズ n に依存するモデルを想定する三角行列枠組みの下で、高次元時系列に対する非漸近的確率不等式を確立する。古典的な mixing 條件（例：β-mixing）が、モデルが n に依存する場合に 0 に減少しないことがあることを示している。高次元ガウス過程における β-mixing 係数の下界を証明し、次元 d が固定されていない限り指数的減少が成立しないことを示しており、高次元設定への教科書の mixing 結果の適用に伴うリスクを浮き彫りにしている。

ABSTRACT

Study of time series data often involves measuring the strength of temporal dependence, on which statistical properties like consistency and central limit theorem are built. Historically, various dependence measures have been proposed. In this note, we first survey some of the most well-used dependence measures as well as various probability and moment inequalities built upon them under a high-dimensional triangular array time series setting. We then argue that this triangular array setting will pose substantially new challenges to the verification of some dependence conditions. In particular, ``textbook results" could now be misleading, and hence are recommended to be used with caution.

研究の動機と目的

• 標本サイズ n に依存するモデルを想定する三角行列枠組み下で、高次元時系列における古典的 mixing 條件の妥当性を検討すること。
• モデルが n に依存する場合に、教科書の mixing 係数に関する結果がなぜ誤解を招く可能性があるかを特定すること。
• 高次元ガウス過程における β-mixing 係数の非漸近的下界を導出すること。
• 弱依存測度（例：ψ-mixing や関数的依存）が高次元かつ非定常設定においてどの程度有効であるかを明確にすること。
• 依存構造が n とともに変化する場合に、標準的な mixing 係数の減少仮定が失敗することを示すこと。

提案手法

• 時系列モデル {X_{t,n}} が標本サイズ n に依存する三角行列枠組みを用い、時間依存の依存性を導入する。
• 2次元ガウスベクトルにおける α-、ρ-、β-mixing 係数の既知の不等式（特に α ≤ ρ ≤ 2πα）を適用する。
• 周辺 α-mixing 係数の下界を導出：α(σ(X_{0,1}), σ(X_{m,1})) ≥ κ^m / (2π)，相関の減衰に基づく。
• 事象を表す指標変数 V_j = 1_{X_{0,j} ∈ G}，W_j = 1_{X_{m,j} ∈ H} を構築し、同時確率のずれ η ≥ κ^m / (3π) を得る。
• Hoeffding の不等式を用いて、(1/d)∑V_jW_j の経験平均が同時測度からどれほどずれるかの確率を制限する。
• β-mixing を結合確率測度と積測度の全 Variation 距離として定義し、β(σ(X_0), σ(X_m)) ≥ 1 - 2exp(-dκ^{2m}/(18π²)) を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標本サイズに依存するモデルを想定する高次元時系列において、古典的 β-mixing 係数の減少結果を安全に適用できるか？
• RQ2 三角行列設定下での高次元ガウス過程における β-mixing 係数の非漸近的境界は何か？
• RQ3 高次元かつ非定常時系列における α、ρ、β-mixing 係数の関係はどのように振る舞うか？
• RQ4 モデルが n とともに変化する場合に、ψ-mixing などの弱依存測度はどの程度有効に保たれるか？
• RQ5 なぜ教科書の mixing 係数に関する結果が、n に依存する高次元設定では失敗するのか？

主な発見

• β-mixing 係数 β(σ(X_0), σ(X_m)) は 1 - 2exp(-dκ^{2m}/(18π²)) で下から抑えられ、d が固定されていない限り 0 に減少しないことが示された。
• 周辺 α-mixing 係数は、1次ガウス過程における相関の減衰に基づき、α(σ(X_{0,1}), σ(X_{m,1})) ≥ κ^m / (2π) を満たす。
• ρ-mixing 係数は相関の絶対値に等しい：bivariate Gaussian ベクトルに対して ρ(σ(Z_1), σ(Z_2)) = |Corr(Z_1, Z_2)| が成り立つ。
• β-mixing の下界は、次元に跨る i.i.d. 指標変数に Hoeffding の不等式を適用することで導出され、高次元における非自明な依存が持続することを示している。
• この結果は、C や γ が n に依存する減衰境界を持つ高次元三角行列設定では、古典的漸近的 mixing 結果が信頼できないことを示唆している。
• 本稿は、β-mixing 係数が高次元三角行列枠組み下で 0 に収束しない可能性があると結論づけ、非漸近的解析が行われない限り、標準的漸近理論が無効であると結論づけている。