[論文レビュー] Process, Distinction, Groupoids and Clifford Algebras: an Alternative View of the Quantum Formalism

B. J. Hiley|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 53被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、過程の原始的概念に基づく量子力学の基礎的枠組みを提案する。直交的およびシミレクティックな群コアを用いてクリフォード代数を生成し、シュレーディンガー、パウリ、ディラック形式が直交的クリフォード代数から自然に導かれることが示される。一方、シミレクティック構造は非可換幾何学とボーム的位相空間を生じさせ、インプリシット・オーダーと補完性が単一の代数的枠組み内で統一される。

ABSTRACT

In this paper we start from a basic notion of process, which we structure into two groupoids, one orthogonal and one symplectic. By introducing additional structure, we convert these groupoids into orthogonal and symplectic Clifford algebras respectively. We show how the orthogonal Clifford algebra, which include the Schröodinger, Pauli and Dirac formalisms, describe the classical light-cone structure of space-time, as well as providing a basis for the description of quantum phenomena. By constructing an orthogonal Clifford bundle with a Dirac connection, we make contact with quantum mechanics through the Bohm formalism which emerges quite naturally from the connection, showing that it is a structural feature of the mathematics. We then generalise the approach to include the symplectic Clifford algebra, which leads us to a non-commutative geometry with projections onto shadow manifolds. These shadow manifolds are none other than examples of the phase space constructed by Bohm. We also argue that this provides us with a mathematical structure that fits the implicate-explicate order proposed by Bohm.

研究の動機と目的

• 粒子や場ではなく、根本的な存在論的要素としての過程の原始的概念に基づく基礎的量子理論の構築。
• 時空と量子現象が、事前に与えられた多様体ではなく、過程に基づく代数的構造から生じることの示唆。
• ボーム的アプローチと量子ポテンシャルが、クリフォード代数的構造の本質的特徴であり、恣意的な追加ではないことの証明。
• 非可換幾何における「シャドウ多様体」への射影を通じて、インプリシット・オーダーとエクスプロイシット・オーダーの統合。
• 量子力学、相対性理論、補完性が、単一の代数的基盤から自然に導かれる数学的に整合性のある枠組みの確立。

提案手法

• 区別可能な対 [T₁T₂] として表される基本的過程を、不可分性を保ちつつ区別を可能にするように、ブラケットとして形式化する。
• 過程から直交的およびシミレクティックな群コアを構成し、追加の代数的構造を導入することで、直交的およびシミレクティックなクリフォード代数に発展させる。
• シフト演算子 U^s と位相演算子 V^t を持つ離散的構造を用いて、空間的および運動量的変換をモデル化し、連続極限をとることでハイゼンベルク代数を回復する。
• クリフォードバンドル上にディラック接続を導入し、ヒルベルト空間表現に依存せずにボーム形式の運動方程式を導出する。
• シミレクティックなクリフォード代数に一般化することで、位置と運動量が同時に定義できない非可換幾何を記述し、ボアの補完性を実現する。
• 非可換構造を「シャドウ多様体」へ射影することで、エクスプロイシット・オーダーをモデル化し、位相空間を具体的な例とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空と量子力学的構造が、事前に与えられた多様体ではなく、根本的な過程の概念から生じるのか？
• RQ2 シュレーディンガー、パウリ、ディラック形式が、なぜ直交的クリフォード代数から自然に生じるのか？
• RQ3 ボーム的アプローチ、特に量子ポテンシャルは、クリフォード代数の構造的特徴であり、現象的追加物ではないのか？
• RQ4 ボームのインプリシット・エクスプロイシット・オーダーは、プロセスに基づく群コアから導かれる非可換幾何を通じて数学的に実現可能か？
• RQ5 離散的プロセス構造の連続極限が、ハイゼンベルク代数および標準的量子力学にどのように導くのか？

主な発見

• 直交的クリフォード代数、特にパウリおよびディラック代数は、時空の古典的光錐構造を自然に記述しており、量子代数的構造が古典的幾何的根拠を持つことを示している。
• クリフォードバンドル上にディラック接続を導入することで、ボームの運動方程式が数学的構造の本質的特徴として現れ、別個の公理ではないことが明らかになった。
• シュレーディンガー、パウリ、ディラック理論は、クリフォード代数内に自然な階層を形成しており、それぞれが次のものに埋め込まれており、非相対論的から相対論的スピン角運動量への物理的階層を反映している。
• 連続極限におけるシミレクティックなクリフォード代数は、ハイゼンベルク代数と、位置空間と運動量空間の点が同時に定義できない非可換幾何を生じさせ、ボアの補完性を実現する。
• 非可換構造から「シャドウ多様体」への射影により、ボームのエクスプロイシット・オーダーの数学的実現が得られ、位相空間が具体的な例として提示された。
• ディラック理論における量子ポテンシャルが、ド・ブロイ＝ボームの量子ポテンシャルの正確な相対論的一般化であることが示され、相対論的領域におけるこのアプローチの整合性が裏付けられた。