[論文レビュー] Products of multisymplectic manifolds and homotopy moment maps

C. S. Shahbazi, Marco Zambon|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、直積上の多symplectic形式の外積として定義される多symplectic積構成において、観測可能量の$L_{\infty}$-代数とホモトピー的モーメント写像が保存されることを確立する。個々の因子の観測可能量の$L_{\infty}$-埋め込みを積に導入し、因子のホモトピー的モーメント写像から積のホモトピー的モーメント写像を導出する。さらに、曲率が多symplectic形式そのものである新しい曲がった$L_{\infty}$-代数を導入する。

ABSTRACT

Multisymplectic geometry admits an operation that has no counterpart in symplectic geometry, namely, taking the product of two multisymplectic manifolds endowed with the wedge product of the multisymplectic forms. We show that there is an L-infinity-embedding of the L-infinity-algebra of observables of the individual factors into the observables of the product, and that homotopy moment maps for the individual factors induce a homotopy moment map for the product. As a by-product, we associate to every multisymplectic form a curved L-infinity-algebra, whose curvature is the multisymplectic form itself.

研究の動機と目的

• 多symplectic多様体の$L_{\infty}$-代数の観測可能量が、直積上の形式の外積として定義される多symplectic積操作においてどのように振る舞うかを理解すること。
• 2つの多symplectic多様体の積に対して、個々の因子のホモトピー的モーメント写像からホモトピー的モーメント写像を構成すること。
• 任意の閉微分形式に対して自然に付随する、曲率がその形式そのものである新しい曲がった$L_{\infty}$-代数を導入し、その特徴づけを行うこと。
• 非退化形式にとどまらず、閉形式への一般化と曲がった$L_{\infty}$-代数の導入により、多symplectic幾何の背後にある代数的構造を明確にすること。

提案手法

• 著者たちは、[3]、[5]、[11] における先行研究に基づき、$L_{\infty}$-準同型写像とホモトピー的モーメント写像の道具立てを用い、積多様体におけるホモトピー的モーメント写像を構成する。
• 彼らは、因子の$L_{\infty}$-代数の直和から積の$L_{\infty}$-代数への明示的な$L_{\infty}$-埋め込み$H$を定義し、誘導されたホモトピー的モーメント写像の公式に従って導く。
• この構成は、次数の分析と、特に$\mathrm{L}_{\infty}$-関係式に用いられる非交換順序（unshuffle）とコーシュルの符号を含む、次数付き多重線形写像の符号規約に依存する。
• 曲がった$L_{\infty}$-代数は、$L_{\infty}(M,\omega)$と同一の次数付き空間上に定義されるが、次数1および2の成分を追加し、高次括弧を形式$\omega$を曲率として含むように調整する。
• $L_{\infty}$-関係式は、入力の次数に応じた場合分けによる検証が行われ、次数制約に基づく消去法的議論と、ハミルトニアンベクトル場の完全性を用いる。
• 著者たちは、その構成を等変コycle誘導のモーメント写像と比較し、シンプレクティックおよび高次プリケーショナライゼーションの設定で既知の結果と整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの多symplectic多様体の外積において、多symplectic多様体上の$L_{\infty}$-代数の観測可能量はどのように振る舞うか？
• RQ2 2つの多symplectic多様体の積に対して、個々の因子のホモトピー的モーメント写像からホモトピー的モーメント写像を構成できるか？
• RQ3 任意の閉微分形式に対して、曲率がその形式そのものである自然な曲がった$L_{\infty}$-代数構造が存在するか？
• RQ4 標準的$L_{\infty}$-代数の観測可能量と、この新しい曲がった$L_{\infty}$-代数との間の代数的関係は何か？

主な発見

• 観測可能量の$L_{\infty}$-埋め込み$H: L_{\infty}(M_a,\omega_a) \oplus L_{\infty}(M_b,\omega_b) \to L_{\infty}(M_a \times M_b, \omega_a \wedge \omega_b)$ が構成され、$H_1$が単射であることが示され、積操作における観測可能量の整合性が裏付けられる。
• 因子の写像$f^a$および$f^b$から、明示的にホモトピー的モーメント写像$F: \mathfrak{g}_a \oplus \mathfrak{g}_b \to L_{\infty}(M_a \times M_b, \omega_a \wedge \omega_b)$ が構成され、$L_{\infty}$-構造が保存される。
• 反復積$(M, \omega^m)$に対して、$m=2$ の場合の明示的公式が導出され、例としてハイパーカイリィアン多様体を用いて構成が図示される。
• 曲率が$\omega$に等しい新しい曲がった$L_{\infty}$-代数$L^{\text{curv}}_{\infty}(M,\omega)$ が導入され、$L_{\infty}(M,\omega)$の次数付き空間を次数1および2に拡張したものである。
• 曲がった$L_{\infty}$-代数は、標準的$L_{\infty}$-代数と同型ではない。また、次数0で恒等写像を保存するような厳密な準同型写像は存在しない。
• シンプレクティックの場合（$n=1$）、$L^{\text{curv}}_{\infty}(M,\omega)$ は $C^\infty(M) \oplus \Omega^1_{\text{Ham}}(M) \oplus \langle \omega \rangle$ に同型であり、$d$および$\omega$のハミルトニアンベクトル場を含む非自明な高次括弧が存在する。