[論文レビュー] Higher Symplectic Geometry

Christopher L. Rogers|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 51被引用数 37

ひとこと要約

本稿では、n-plectic多様体—閉で非退化な(n+1)形式を持つ多様体—を導入することで、シンプレクティック幾何学を高次の形式へ一般化する。このような構造がLie n-代数を生じさせ、カテゴリフィケーションされた幾何的量子化手順を可能にすることを示している。主な貢献は、量子状態の圏を生じさせる2-plectic量子化フレームワークの構築であり、具体的な例を通じて2-plectic多様体とSU(2)の表現との関連が示されている。

ABSTRACT

We consider generalizations of symplectic manifolds called n-plectic manifolds. A manifold is n-plectic if it is equipped with a closed, nondegenerate form of degree n+1. We show that higher structures arise on these manifolds which can be understood as the categorified or homotopy analogues of important structures studied in symplectic geometry and geometric quantization. Just as a symplectic manifold gives a Poisson algebra of functions, we show that any n-plectic manifold gives a Lie n-algebra containing certain differential forms which we call Hamiltonian. Lie n-algebras are examples of strongly homotopy Lie algebras. They consist of an n-term chain complex equipped with a collection of skew-symmetric multi-brackets that satisfy a generalized Jacobi identity. We then develop the machinery necessary to geometrically quantize n-plectic manifolds. In particular, just as a prequantized symplectic manifold is equipped with a principal U(1)-bundle with connection, a prequantized 2-plectic manifold is equipped with a U(1)-gerbe with 2-connection. A gerbe is a categorified sheaf, or stack, which generalizes the notion of a principal bundle. Furthermore, over any 2-plectic manifold there is a vector bundle equipped with extra structure called a Courant algebroid. This bundle is the 2-plectic analogue of the Atiyah algebroid over a prequantized symplectic manifold. Its space of global sections also forms a Lie 2-algebra, which we use to prequantize the Lie 2-algebra of Hamiltonian forms. Finally, we introduce the 2-plectic analogue of the Bohr-Sommerfeld variety associated to a real polarization, and use this to geometrically quantize 2-plectic manifolds. The output of this procedure is a category of quantum states. We consider a particular example in which the objects of this category can be identified with representations of the Lie group SU(2).

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体の一般化としてn-plectic多様体を導入し、高次の微分形式へのシンプレクティック幾何学の拡張を図ること。
• 標準的なヒルベルト空間に基づく量子化とは異なり、量子状態の圏を生じさせる2-plectic多様体の幾何的量子化手順を構築すること。
• 高次シンプレクティック幾何学、表現論、およびゲルベ、コーエン代数、ループ群といったストリング理論に由来する構造との関係を確立すること。
• ボール＝ゾンマーフェルト条件のカテゴリフィケーションを行い、極分類量子化における2-plectic版ボール＝ゾンマーフェルト多様体を構成すること。
• 2-plectic多様体の量子状態圏が、特にねじれ付きベクトルバンドルを介してSU(2)の表現に対応することを示すこと。

提案手法

• 閉で非退化な(n+1)形式を持つ滑らかな多様体としてn-plectic多様体を定義し、シンプレクティック構造の一般化を行う。
• 強さホモトピーLie代数（L∞-代数）構造を用いて、n-plectic多様体上のハミルトニアン微分形式からLie n-代数を構成する。
• デリーニコhomologyとU(1)-ゲルベに2接続を組み合わせ、2-plectic多様体の前量子化を行う。これは、シンプレクティック多様体におけるU(1)-バンドルによる前量子化の一般化である。
• アティヤ代数の2-pleクティック版として、2-pleクティック多様体上のコーエン代数を導入し、その局所的切断がLie 2-代数をなすことを示す。
• 実2極分類と自明なデリーニコ2サイクルを用いて、2-pleクティックボール＝ゾンマーフェルト多様体を定義し、葉上で量子化条件を満たすように保証する。
• 量子状態の圏を、ボール＝ゾンマーフェルト多様体上のねじれ付きヒルベルト空間ベクトルバンドルとして構成する。各葉上で平坦であり、同型類はSU(2)表現に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n-pleクティック多様体はシンプレクティック多様体をどのように一般化するのか？ また、それらの高次形式からどのような代数的構造が生じるのか？
• RQ2 2-pleクティック多様体における幾何的量子化のカテゴリフィケーションされた類似物は何か？ そして、標準的なヒルベルト空間に基づく量子化とはどのように異なるのか？
• RQ3 U(1)-ゲルベに2接続を備えた構造は、シンプレクティック幾何学における主U(1)-バンドルと同様に、2-pleクティック多様体の前量子化構造としてどのように機能するのか？
• RQ4 コーエン代数は2-pleクティック幾何学において果たす役割は何か？ また、ハミルトニアン形式のLie 2-代数とはどのように関係するのか？
• RQ5 2-pleクティック軌道法（ボール＝ゾンマーフェルト多様体を介して）は、SU(2)の既約表現といった表現論的データをどのように回復するのか？

主な発見

• 原点を中心とする球面による2極分類と自明なデリーニコ2サイクルを持つ2-pleクティック多様体は、整数nに対して半径n/2の球面からなるボール＝ゾンマーフェルト多様体をもつ。
• 2-pleクティック形式ω = dBを備えたM = ℝ³∖{0}に対して、量子状態の圏は各ボール＝ゾンマーフェルト葉上で平坦なねじれ付きヒルベルト空間ベクトルバンドルからなる。
• 量子状態圏の対象の同型類は、自明表現を含まない有限次元SU(2)表現の同型類と一対一対応する。
• 各量子状態バンドルは、複素射影直線ℂℙ¹上の超平面バンドルのテンソル冪の直和に分解され、随伴軌道上の線分束の構造を反映している。
• ボール＝ゾンマーフェルト球面の半径n/2は、次元n+1のSU(2)の既約表現に対応し、2-pleクティック幾何学と軌道法との直接的な関連を確立する。
• 自明表現が回復できないのは、多様体M = ℝ³∖{0}から原点（自明表現に対応）が除外されているためであり、これは調和振動子の量子化における1/2シフトと類似している。