[論文レビュー] Products of Unbounded Normal Operators

Mohammed Hichem Mortad|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2012

Holomorphic and Operator Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有界正規作用素の結果を非有界設定に拡張し、非有界正規作用素の積の正規性を調査する。Fuglede-Putnamの定理および閉作用素、部分正規作用素、弱正規作用素の性質に基づき、有界ユニタリ作用素 $ A $ と非有界正規作用素 $ B $ に対して、$ BA $ が正規であるための必要十分条件は $ AB $ が正規であることであることが示された。

ABSTRACT

The present paper partly constitutes an "unbounded" follow-up of a paper by I. Kaplansky dealing with bounded products of normal operators. Results on the normality of unbounded products are also included.

研究の動機と目的

• Kaplanskyの有界作用素に関する正規積の結果を非有界設定に拡張すること。
• 非有界正規作用素 $ B $ と有界作用素 $ A $ の積 $ AB $ や $ BA $ が正規であるための条件を調査すること。
• Fuglede-Putnamの定理および閉作用素の性質を用いて、非有界作用素に対する古典的正規性基準の類似を確立すること。
• 可換性、弱正規性、部分正規性が非有界作用素の積の正規性を保証する役割を調べること。
• 非有界設定における逆含意の不成立を、反例によって解明すること。

提案手法

• 非有界正規作用素に適用可能なFuglede-Putnamの定理を用い、$ A^{*}AB \subset BA^{*}A $ を $ BA $ の正規性に関連付ける。
• 極分解 $ A = UR $（$ U $ はユニタリ、$ R $ は正定値）を用いて、問題をユニタリ変換に還元する。
• 自己随伴作用素の最大対称性（MS）性質を用い、閉作用素における包含関係から等式を導く。
• $ AB $, $ BA $, $ B $ の閉作用素性を用いて、作用素の定義域およびグラフの整合性を保証する。
• Stochel（2003）の定理4（閉作用素の弱正規・部分正規作用素に関するもの）を適用し、核条件のもとで正規性を導出する。
• 非有界作用素 $ B $ の場合、$ A^{*}AB \subset BA^{*}A $ であっても $ BA $ が正規でない反例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非有界正規作用素 $ B $ と有界作用素 $ A $ に対して、$ BA $ が正規であるための条件は何か？
• RQ2 有界の場合と同様に、$ A^{*}AB \subset BA^{*}A \Rightarrow BA \text{ 正規} $ という含意は非有界設定でも成り立つか？
• RQ3 $ A $ がユニタリで $ B $ が非有界正規のとき、$ AB $ の正規性は $ A^{*}AB \subset BA^{*}A $ で特徴付けられるか？
• RQ4 $ A $ のユニタリ性が、$ AB $ と $ BA $ の正規性の対称性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 弱正規性および部分正規性が $ BA $ にあれば、条件 $ A^{*}AB \subset BA^{*}A $ が正規性を導く仕組みは何か？

主な発見

• 反例により、非有界の場合には $ BA \text{ 正規} \Rightarrow A^{*}AB \subset BA^{*}A $ の逆含意は成り立たないことが示された。
• 有界ユニタリ作用素 $ A $ と非有界正規作用素 $ B $ に対して、$ BA $ が正規であることと $ AB $ が正規であることは同値である。
• $ A $ がユニタリで $ BA $ が弱正規または部分正規であれば、条件 $ A^{*}AB \subset BA^{*}A $ が $ BA $ の正規性を示唆する。
• 証明は極分解 $ A = UR $、ユニタリ不変性、および自己随伴作用素のMS性質に基づき、包含関係から等式を導出する。
• Fuglede-Putnamの定理は精神的に非有界設定に拡張され、正規性の性質が作用素の積の間で移動可能となった。
• $ AB $, $ BA $, $ B $ の閉作用素性により、定義域の包含関係を厳密に操作し、正規性条件を導出できるようになった。