[論文レビュー] Projective and birational geometry of Grassmannians and other special varieties

Rick Rischter|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 57被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、接空間を用いた新規な手法を導入し、グラスマン多様体およびセグレ・ヴェロネーゼ多様体における接続欠損性の研究を進める。この手法により、期待値未満の次元を示すセクアンツ多様体の分析が可能となる。さらに、一般点でのグラスマン多様体の吹き上げの双有理幾何を検討し、それらがモーリー・ドリーム空間（MDS）であるための条件を確立するとともに、具体的な境界を提示する。これには、$ \mathbb{G}(r,n)_k $ が MDS のまま残る最大点数 $ f(r,n) $ の最初の既知の下界が含まれる。

ABSTRACT

In the first part of the thesis, we study a classical invariant of projective varieties, the secant defectivity. The second part is devoted to modern algebraic geometry, we study the birational geometry of blow-ups of Grassmannians at points.

研究の動機と目的

• 接空間に基づく新規な手法を用いて、射影多様体におけるセクアンツ欠損性を研究すること。
• この手法を用いて、セクアンツ欠損性を示すグラスマン多様体およびセグレ・ヴェロネーゼ多様体を分類すること。
• 一般点でのグラスマン多様体の吹き上げがモーリー・ドリーム空間（MDS）であるかどうかを特定すること。
• 一般点の吹き上げが MDS のまま残る最大数 $ f(r,n) $ の下界を計算すること。
• グラスマン多様体の吹き上げにおける対数ファノ性とモーリー・ドリーム空間性の関係を調査すること。

提案手法

• 接空間理論を導入・適用し、セクアンツ多様体の次元を分析すること。
• 接空間法を用いて、グラスマン多様体およびセグレ・ヴェロネーゼ多様体におけるセクアンツ欠損性を検出すること。
• モーリー理論およびモーリー・チェンバ一分解を用いて、一般点でのグラスマン多様体の吹き上げを研究すること。
• 有効なコーンが有理的多面体的かつ有限生成であれば、多様体がモーリー・ドリーム空間であるという基準を適用すること。
• フリップと有理写像の分解を用いて、吹き上げのネフおよび可動コーンを分析すること。
• 射影空間の吹き上げに関する既知の結果を基に、グラスマン多様体における予想および境界を導くこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの $ (r,n) $ に対して、$ \mathbb{G}(r,n) $ の一般点での吹き上げがモーリー・ドリーム空間であるか？
• RQ2 一般点の最大数 $ f(r,n) $ は何か？ そのような点の吹き上げが $ \mathbb{G}(r,n)_k $ として依然 MDS のままである。
• RQ3 グラスマン多様体およびセグレ・ヴェロネーゼ多様体のセクアンツ欠損性は、それらの接空間構造とどのように関係するか？
• RQ4 一般点 $ k $ でのグラスマン多様体の吹き上げが、対数ファノであるがモーリー・ドリーム空間ではないことは可能か？
• RQ5 小規模な $ k $ に対して、$ \operatorname{Eff}(\mathbb{G}(r,n)_k) $ のモーリー・チェンバ一分解の構造は何か？

主な発見

• すべての $ r \geq 1 $ に対して、$ \mathbb{G}(r,n) $ の一般点での吹き上げはモーリー・ドリーム空間であり、$ f(r,n) \geq 1 $ が成立する。
• $ r=1 $ の場合、$ n=2r+1 $ または $ n=2r+2 $ のとき $ f(1,n) \geq 2 $、$ f(1,5) \geq 3 $、$ f(1,4) \geq 4 $ が成り立つ。
• $ n = 2r+1 $ のとき、$ \mathbb{G}(r,n)_1 $ の可動コーンは $ \operatorname{cone}(H, H - rE) $ である。$ n > 2r+1 $ のとき、$ \operatorname{cone}(H, H - (r+1)E) $ である。
• $ \operatorname{Eff}(\mathbb{G}(r,n)_1) $ のモーリー・チェンバ一分解の壁は $ E, H, H-E, \dots, H-(r+1)E $ である。
• $ \mathbb{G}(1,4) $ に対しては $ f(1,4) \geq 4 $、かつ有効コーンの有限生成性の欠如に基づく証拠から、その値は 4 または 5 である。
• 予想として、$ \mathbb{G}(r,n)_k $ がモーリー・ドリーム空間であるのは $ k \leq f(r,n) $ のときに限る。$ f(0,n) = n+3 $（$ n > 4 $ のとき）であり、これは射影空間の場合の一般化を示唆する。