[論文レビュー] Projective and injective objects in symmetric categorical groups

Teimuraz Pirashvili|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、対称的カテゴリカル群の2カテゴリのホモトピー圏のコhomological記述を活用することで、その2カテゴリが十分な射影的および単射的対象を備えていることを確立する。アーベル群へのタイプ関手を用い、自由および可除アーベル群によるリフトを構成することで、著者たちは射影的および単射的対象の存在を証明し、任意のカテゴリカル環上のカテゴリカルモジュールへと拡張する。

ABSTRACT

We prove that the 2-category of symmetric categorical groups have enough projective and injective objects. This was conjectured by Bourn and Vitale in 2002 and was anounced recently by Fang Huang, Shao-Han Chen, Wei Chen and Zhu-Jun Zheng in arXiv:1006.4677 with wrong proof.

研究の動機と目的

• 文献[1]における予想を解決する。すなわち、対称的カテゴリカル群のアーベル2カテゴリが十分な射影的対象を備えていることの証明。
• 文献[3]における誤った証明を是正し、対称的カテゴリカル群における射影的および単射的対象の存在について正しいオリジナルの証明を提供すること。
• ベースチェンジと双対性を用いて、結果を任意のカテゴリカル環上のカテゴリカルモジュールへ拡張すること。
• 対称的カテゴリカル群の2カテゴリと、特定のカテゴリカル環上の右カテゴリカルモジュールの2カテゴリとの間の2同値を確立すること。

提案手法

• 対称的カテゴリカル群を三つ組 $ (A_0, A_1, \alpha) $ に写像するタイプ関手 $\mathrm{type}: \mathbf{Ho} \to \mathfrak{Types} $ を用いる。ここで $ A_0 = \pi_0(S), A_1 = \pi_1(S), \alpha \in \hom(A_0/2A_0, A_1) $ である。
• 文献[8]のコhomological記述を適用し、$ \pi_0(\mathbf{Hom}(S_1, S_2)) $ が $ \mathop{\sf Ext}(\pi_0(S_1), \pi_1(S_2)) $ と $ \mathfrak{Types}(\mathrm{type}(S_1), \mathrm{type}(S_2)) $ を含む短完全系列に含まれることを示す。
• 各 $ \mathbb{A} \in \mathfrak{Types} $ に対して、$ \mathrm{type}(H(\mathbb{A})) = \mathbb{A} $ を満たす対称的カテゴリカル群 $ H(\mathbb{A}) $ を構成する。これは、同値を除いての存在および一意性を用いる。
• 自由アーベル群 $ P $ を用い、$ f_0: P \to \pi_0(S) $ をエピモーマルのリフトとして、$ \mathfrak{Types} $ 内のモルフィズムにまで引き上げ、その後対称的カテゴリカル群へとリフトすることで、射影的対象を構成する。
• 可除アーベル群 $ Q $ を用い、モノモーフィズム $ g_1: \pi_1(S) \to Q $ をリフトする。これにより、$ \pi_1(\mathbf{Hom}(S_1, S_2)) \cong \hom(\pi_0(S_1), \pi_1(S_2)) $ の同型を介して単射的対象の存在を保証する。
• 2-随伴とヤオダの補題を用いて、任意のカテゴリカル環 $ \mathbb{R} $ に対して、カテゴリカル右 $ \mathbb{R} $-モジュールの圏が十分な射影的および単射的対象を備えていることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的カテゴリカル群の2カテゴリは十分な射影的対象を備えているか？
• RQ2 対称的カテゴリカル群の2カテゴリは十分な単射的対象を備えているか？
• RQ3 対称的カテゴリカル群における射影的および単射的対象の存在は、任意のカテゴリカル環上のカテゴリカルモジュールへ拡張可能か？
• RQ4 特定のカテゴリカル環上の右カテゴリカルモジュールの2カテゴリと、対称的カテゴリカル群の2カテゴリとの間に2同値が存在するか？

主な発見

• 自由アーベル群からタイプ圏へのエピモーフィズムのリフトを用いて、対称的カテゴリカル群の2カテゴリは射影的対象を十分に備えている。
• 可除アーベル群へのモノモーフィズムのリフトを用いて、対称的カテゴリカル群の2カテゴリは単射的対象を十分に備えている。
• 文献[8]で確立された $ \pi_0(\mathbf{Hom}(S_1, S_2)) $ および $ \pi_1(\mathbf{Hom}(S_1, S_2)) $ のコhomological記述から、対称的カテゴリカル群における十分な射影的および単射的対象の存在が導かれる。
• 任意のカテゴリカル環 $ \mathbb{R} $ に対して、カテゴリカル右 $ \mathbb{R} $-モジュールの2カテゴリは、ベースチェンジと2-随伴を用いて十分な射影的および単射的対象を備えている。
• オブジェクトが $ \mathbb{Z} $、各オブジェクトにおける自己同型群が $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $、および可換性同型が $ \epsilon_{n+m} $ で与えられる対称的カテゴリカル群 $ \mathbb{H} $ は、小さな射影的生成対象である。
• ヤオダ埋め込みと2-随伴を用いて、対称的カテゴリカル群の2カテゴリは、カテゴリカル環 $ \mathbf{Hom}(\mathbb{H}, \mathbb{H}) $ 上の右カテゴリカルモジュールの2カテゴリと2同値である。