[論文レビュー] Projective Connections and Schwarzian Derivatives for Supermanifolds, and Batalin-Vilkovisky Operators

Jacob George|ArXiv.org|Sep 29, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、超多様体への射影接続およびシュヴァルツィアン導関数の拡張を行い、超シュヴァルツィアン導関数を導入するとともに、密度上の射影ラプラシアンおよび奇ポアソン括弧の標準的拡張を構成する。主な貢献は、密度上の射影ラプラシアンがバタリン＝ヴィルコビッチ作用素であるための条件の特徴付けであり、これは、標準的拡張および超設定における曲率に類似た不変量を通じて、射影幾何学と奇ポアソン構造を結びつける。

ABSTRACT

We extend the notion of a Thomas projective connection (a projective equivalence class of linear connections) for supermanifolds. As a by-product, we arrive at a generalisation of the multidimensional Schwarzian derivative for the super case which was previously unknown. This is combined with our previous construction of a Laplacian on the algebra of densities for a projectively connected manifold and allows us to study Batalin-Vilkovisky type operators and the relation between projective connections and odd Poisson structures.

研究の動機と目的

• 射影接続およびトーマス構成の超多様体への一般化を通じて、古典的射影幾何学の枠組みを超設定へ拡張すること。
• 超多様体における多次元シュヴァルツィアン導関数の定義を行い、古典的Ovsienko-Tabachnikov版を一般化し、超幾何学における新たな不変量を提供すること。
• 関数上での超ラプラシアンおよび超多様体上の密度への括弧の標準的拡張の超類似物を構成すること。
• 密度上の射影ラプラシアンがバタリン＝ヴィルコビッチ作用素であるための条件を特徴付け、射影幾何学と奇ポアソン構造を結びつけること。
• 上接続および曲率に類する不変量を通じて、密度上の奇ポアソン括弧の射影拡張の成分を幾何学的に解釈すること。

提案手法

• 射影接続の古典的概念（同一の未パラメータ化された測地線を持つ線形接続の同値類）を、超シュヴァルツィアン導関数を主要な不変量として用いて超多様体へ拡張する。
• 射影類 $\Pi^{k}_{ij}$ および超トレース $\mathrm{str}(\Pi)$ を用いて、古典的バージョンの一般化として超シュヴァルツィアン導関数を導出する。
• 対称テンソル $S^{ij}$ および射影類 $\Pi^{k}_{ij}$ を用いて、関数上への標準的射影ラプラシアンを構成し、$\partial_j S^{ij}$ および $S^{jk}\Pi^i_{jk}$ を含む係数を伴う。
• 密度のバンドル上の標準的上接続を $\gamma^i = \frac{n-m+1}{n-m+3}(\partial_j S^{ij} + S^{jk}\Pi^i_{jk})$ の係数で定義し、偶数の場合を一般化する。
• 奇ポアソン括弧にこの枠組みを適用する際、関数から密度への括弧の拡張を三重組 $(S^{ij}, \gamma^i, \theta)$ を用い、ポアソン＝リヒネロヴィッチ作用素を用いたジャコビ恒等式の条件を導出する。
• $S = S^{ij}p_j p_i$、$\gamma = \gamma^i p_i$、および $\theta$ を用いたマスターハミルトニアン形式を用い、ジャコビ恒等式の条件を導出する：$(S,S)=0$、$(S,\gamma)=0$、$(S,\theta)+( abla\gamma,\nabla\gamma)=0$、および $(\gamma,\theta)=0$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的射影接続の概念をどのように超多様体へ一般化できるか、そしてこの設定で生じる不変量は何か？
• RQ2 超多様体設定における多次元シュヴァルツィアン導関数の形は何か、そして射影類とどのように関係するか？
• RQ3 密度上の射影ラプラシアンがバタリン＝ヴィルコビッチ作用素であるための条件は何か、そして奇ポアソン構造とどのように関係するか？
• RQ4 関数上の奇ポアソン括弧をどのように標準的に密度上の括弧へ拡張できるか、そしてこの拡張が再び奇ポアソン括弧であるための条件は何か？
• RQ5 射影類とポアソン構造の整合性を制御する幾何学的または曲率に類する不変量（例：$B_{ij}$）は何か？

主な発見

• 本稿では、射影類 $\Pi^{k}_{ij}$ および超トレースを用いて定義される超シュヴァルツィアン導関数を構成し、これは古典的Ovsienko-Tabachnikov版の一般化であり、超幾何学における新たな不変量を提供する。
• 関数上への標準的射影ラプラシアンは $S^{ij}$ および $\Pi^{k}_{ij}$ を用いて定義され、係数 $\frac{2}{n-m+3}\partial_j S^{ji} - \frac{n-m+1}{n-m+3}S^{jk}\Pi^i_{jk}$ を伴い、射影同値性に関して不変である。
• 密度のバンドル上の標準的上接続は $\gamma^i = \frac{n-m+1}{n-m+3}(\partial_j S^{ij} + S^{jk}\Pi^i_{jk})$ の係数で構成され、偶数の場合を一般化し、括弧の密度への拡張を可能にする。
• 密度上の奇ポアソン括弧の射影拡張が奇ポアソン括弧であるための必要十分条件は、$(S,S)=0$、$(S,\gamma)=0$、$(S,\theta)+( abla\gamma,\nabla\gamma)=0$、および $(\gamma,\theta)=0$ が満たされることであり、ここで $\theta$ は密度括弧の成分である。
• 本稿では、密度上の射影ラプラシアンがバタリン＝ヴィルコビッチ作用素であるための明示的条件（22）を導出する：$S^{jk}\Pi^i_{kj} = -\left(\partial_j S^{ji} + \frac{n-m+3}{n-m+1}S^{ij}\partial_j\log\rho\right)$ および $S^{ij}B_{ji} = -\partial_j(S^{ji}\partial_i\log\rho) - \frac{n-m+2}{n-m+1}S^{ij}\partial_i\log\rho\partial_j\log\rho(-1)^j$、ここで $B_{ij}$ は曲率に類する不変量である。
• 量 $B_{ij}$ はリッチテンソルの射影版と解釈され、$S^{ij}B_{ji}$ は射影スカラー曲率として解釈され、条件が射影不変量の観点から幾何学的に解釈可能であることを示唆する。