[論文レビュー] Projective Geometry II: Cones and Complete Classifications

Stuart Armstrong|ArXiv.org|Feb 27, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、次元 n+1 のリッチ平坦で torsion-free なアフィン多様体としての射影コーン構成を導入する。この多様体のホロノミーは、射影多様体上のトレイクター接続のホロノミーと同型であり、そのホロノミーは射影的トレイクター接続のホロノミーと一致する。この構成とリッチ平坦ホロノミー分類の結果を活用することで、完全な非可約射影的トレイクター接続ホロノミー代数の分類を完成させ、複素およびシンプレクティックな場合を含む、すべてのリストアップされたホロノミー型の存在を明示的な幾何的構成とピッチングの議論によって証明する。

ABSTRACT

The aim of this paper and its prequel is to introduce and classify the irreducible holonomy algebras of the projective Tractor connection. This is achieved through the construction of a `projective cone', a Ricci-flat manifold one dimension higher whose affine holonomy is equal to the Tractor holonomy of the underlying manifold. This paper uses the result to enable the construction of manifolds with each possible holonomy algebra.

研究の動機と目的

• 射影的トレイクター接続の非可約ホロノミー代数の分類を完成させること。
• 先行研究でリストアップされたすべての可能なホロノミー代数の存在を、明示的なモデル多様体の構成によって確立すること。
• 標準的なリッチ平坦コーン構成では実現できないホロノミー型の存在証明におけるギャップを解消すること。
• ホロノモーフィックおよびシンプレクティックなピッチング技術を用いて、複素およびシンプレクティックホロノミー型への分類の拡張を図ること。
• リッチ平坦アフィンホロノミー分類におけるすべての再帰的ホロノミー代数が、射影的トレイクター接続ホロノミー代数として実現可能であることを示すこと。

提案手法

• 射影多様体 M 上の射影コーンを構成し、次元 n+1 のリッチ平坦で torsion-free なアフィン多様体を得る。この多様体のホロノミーは、M 上のトレイクター接続のホロノミーと同型である。
• コーン構成を用いて、トレイクター接続のホロノミー代数をリッチ平坦アフィンホロノミーに持ち上げ、[Arm3] および [MeSc1] の分類結果の適用を可能にする。
• 分区関数を用いたピッチング技術を適用し、局所ホロノミー代数を共役化して、特にリッチ平坦でない場合の完全なグローバルホロノミーを達成する。
• コーン構成の複素およびシンプレクティック版を用いて、$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$、$\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$、$\mathfrak{sp}(4,\mathbb{R})$ などの複素およびシンプレクティックホロノミー代数を実現する。
• トレイクター接続の曲率分解、特にウェイリータンスルおよびコットン＝ヨークテンソルを用いて、ホロノミーの低下を分析し、変形下でも構造を保存することを検証する。
• 分割 $\mathcal{T} = T[\mu] \oplus L^\mu$ およびトレイクター接続の公式 $\overrightarrow{\nabla}_X = \nabla_X + X + \mathsf{P}(X)$ を用いて、好適な接続の下でのホロノミー行動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体上の射影的構造に対して、どのような非可約ホロノミー代数がトレイクター接続のホロノミー代数として現れるか？
• RQ2 リッチ平坦アフィン分類におけるすべての再帰的ホロノミー代数が、射影的トレイクター接続ホロノミー代数として実現可能か？
• RQ3 複素幾何的設定において、$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$、$\mathfrak{sp}(2n,\mathbb{C})$、$\mathfrak{spin}(7)$ などのホロノミー代数をどのように幾何的に実現できるか？
• RQ4 射影コーン構成は、射影的トレイクター接続ホロノミーとリッチ平坦アフィンホロノミーをどのように結びつけるか？
• RQ5 コーン法が失敗する場合、ピッチング技術を用いてリッチ平坦でないホロノミー型を構成できるか？

主な発見

• 射影コーン構成により、元の n 次元の射影的多様体のトレイクターホロノミーと同型なホロノミーを持つ、次元 n+1 のリッチ平坦で torsion-free なアフィン接続を持つ多様体が得られる。
• 表1および表2にリストアップされたすべての非可約ホロノミー代数、たとえば $\mathfrak{so}(p,q)$、$\mathfrak{su}(p,q)$、$\mathfrak{g}_2$、$\mathfrak{spin}(7)$、$\mathfrak{sl}(n,\mathbb{C})$ などは、明示的な構成によって射影的トレイクター接続ホロノミー代数として実現される。
• $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{C})$ および $\mathfrak{sl}(4,\mathbb{C})$ ホロノミーの存在は、ホロノモーフィックピッチングとコーン構成を用いて確立され、後者は $\mathfrak{sl}(3,\mathbb{R})$ ホロノミー多様体のコーンから生じる。
• $\mathfrak{sp}(4,\mathbb{R})$ および $\mathfrak{sp}(4,\mathbb{C})$ は、シンプレクティック射影的構造および非平坦シンプレクティック接続のピッチングによって、トレイクター接続ホロノミー代数として実現されることが示された。
• リッチ平坦コーンでは実現できないホロノミー型に対しては、局所接続の分区関数によるピッチングを用いたモデルの構築がなされ、所望のホロノミー代数が保存された。
• 複素構成における曲率の反正則部はホロノミー代数を拡大させないため、過剰生成を避けて完全なホロノミーが達成される。