[論文レビュー] Projective unitary representations of smooth Deligne cohomology groups

Kiyonori Gomi|ArXiv.org|Oct 10, 2005

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトな向き付け可能$(4k+1)$次元リーマン多様体上の滑らかなデリーニコhomology群の射影的ユニタリ表現を構成し、分類する。これはループ群の正エネルギー表現を一般化するものである。適切な表現は、有限個の既約表現の直和に分解され、既約表現の同値類の数は$2^b r$であることが示され、ここで$b$は$(2k+1)$番目のベッチ数、$r$は$H^{2k+1}(M,\mathbb{Z})$における2階捩れ元の数である。構成は、デリーニコhomologyにおける調和的分解とカップ積および積分を用いた中心拡大に依存する。

ABSTRACT

We construct projective unitary representations of the smooth Deligne cohomology group of a compact oriented Riemannian manifold of dimension 4k+1, generalizing positive energy representations of the loop group of the circle. We also classify such representations under a certain condition. The number of the equivalence classes of irreducible representations is finite, and is determined by the cohomology of the manifold.

研究の動機と目的

• ループ群の正エネルギー表現を高次元の滑らかなデリーニココホモロジー群に一般化すること。
• コンパクトで向き付け可能な$(4k+1)$次元多様体$M$に対して、滑らかなデリーニココホモロジー群$\mathcal{G}(M) = H^{2k+1}(M,\mathbb{Z}(2k+1)^\infty_D)$の射影的ユニタリ表現を構成すること。
• 特定の条件下での適切な表現を分類し、既約表現の同値類の数を特定すること。
• 多様体のコホモロジーとこれらの表現の構造の間の対応を確立すること。

提案手法

• 滑らかなデリーニココホモロジーにおけるカップ積と積分を用いて、自然な群2-コサイクル$S_M: \mathcal{G}(M) \times \mathcal{G}(M) \to \mathbb{R}/\mathbb{Z}$を定義し、中心拡大$\tilde{\mathcal{G}}(M)$を導出する。
• 微分形式の調和的分解を適用して、$\mathcal{G}(M)$を自由部分$\mathcal{G}^0(M) = A^{2k}(M)/A^{2k}(M)_{\mathbb{Z}}$と捩れ部分に分解する。
• $\mathcal{X}(M) = \mathrm{Hom}(\mathbb{H}^{2k}(M)/\mathbb{H}^{2k}(M)_{\mathbb{Z}}, \mathbb{R}/\mathbb{Z})$の各$\lambda$に対して、ヘイゼンベルク型群の構成を用いて、$\mathcal{G}^0(M)$の既約射影的ユニタリ表現$\rho_\lambda$を構成する。
• 適切な表現を、各$\rho_\lambda$の有限個のコピーのヒルベルト直和に同値であるもの、かつ重複度$m(\lambda) \in \mathbb{Z}_{\geq 0}$を有するものとして定義する。
• シュールの補題とスペクトル論理を用いて、既約表現が中心的特徴により一意に定まり、交換子作用素がスカラー倍であることを証明する。
• 微分形式上の$L^2$ノルムによって誘導される中心拡大$\tilde{\mathcal{G}}(M)$の位相を用いて、表現の連続性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ループ群の正エネルギー表現をどのように高次元の滑らかなデリーニココホモロジー群に一般化できるか？
• RQ2 $M$をコンパクトで向き付け可能な$(4k+1)$次元多様体とするとき、$\mathcal{G}(M)$の射影的ユニタリ表現の構造は何か？
• RQ3 既約適切表現の同値類はいくつ存在し、その数は何かが決定するか？
• RQ4 微分形式の調和的分解は、これらの表現の構成と分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 適切な表現$\mathcal{G}(M)$は、有限個の既約適切表現の直和に分解される。
• 既約適切表現の同値類の数は$2^b r$である。ここで$b = b_{2k+1}(M)$は$(2k+1)$番目のベッチ数、$r = \#\{t \in H^{2k+1}(M,\mathbb{Z}) \mid 2t = 0\}$である。
• $k=0$かつ$M = S^1$の場合、既約適切表現の数は2であり、これは$L\mathbb{T}$のレベル2における既約正エネルギー表現の数と一致する。
• 各$\lambda \in \mathcal{X}(M)$に対して既約表現$\rho_\lambda$が存在し、それらは互いに同値でない。コサイクル$e^{2\pi i S_M}$は調和的分解を用いて実現可能である。
• 分類は完全である：すべての適切な表現は、これらの既約表現の有限直和に同値である。
• 中心拡大$\tilde{\mathcal{G}}(M)$は、微分形式上の$L^2$ノルムによって位相化され、これにより表現の連続性が保証される。