[論文レビュー] Prolongation of quasi-principal frame bundles and geometry of flag structures on manifolds

Boris Doubrov, Igor Zelenko|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 38被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、多様体上のフラッグ構造に対して、括弧生成性を持つ分布の各ファイバーにフラッグの部分多様体が滑らかに割り当てられる状況において、擬似主フレームバンドルの概念を導入し、Tanakaの延長手続きを一般化する。主バンドルよりも弱い構造を形式化することで、非主な状況に対しても標準フレーム構成を拡張でき、混合型微分方程式、非可換リーマン幾何、およびより一般的な幾何構造に対する同値問題の解決が可能になる。

ABSTRACT

Motivated by the geometric theory of differential equations and the variational approach to the equivalence problem for geometric structures on manifolds, we consider the problem of equivalence for distributions with fixed submanifolds of flags on each fiber. We call them flag structures. The construction of the canonical frames for these structures can be given in the two prolongation steps: the first step, based on our previous works, gives the canonical bundle of moving frames for the fixed submanifolds of flags on each fiber and the second step consists of the prolongation of the bundle obtained in the first step. The bundle obtained in the first step is not as a rule a principal bundle so that the classical Tanaka prolongation procedure for filtered structures can not be applied to it. However, under natural assumptions on submanifolds of flags and on the ambient distribution, this bundle satisfies a nice weaker property. The main goal of the present paper is to formalize this property, introducing the so-called quasi-principle frame bundles, and to generalize the Tanaka prolongation procedure to these bundles. Applications to the equivalence problems for systems of differential equations of mixed order, bracket generating distributions, sub-Riemannian and more general structures on distributions are given.

研究の動機と目的

• 多様体上の幾何構造の同値問題を扱うため、各ファイバーにフラッグの部分多様体が割り当てられる状況、特に微分方程式や変分幾何の文脈において、その問題を解決すること。
• フラッグ構造に自然に生じるが、主バンドルよりも弱い構造である「擬似主フレームバンドル」を形式化し、一般化された延長手続きを支える基盤を提供すること。
• 古典的なTanakaの延長フレームワークを、主バンドルでない場合にも拡張するために、標準フレーム構成を可能にする新たな構造的性質を同定すること。
• 混合型微分方程式や非可換リーマン幾何に適用可能な、フラッグ部分構造を持つ分布に対する標準フレームを体系的に構成する方法を提供すること。
• 幾何制御理論および偏微分方程式の分野における、二重ファイブレーション、線形化、シンプレクティフィケーションの既存のアプローチを統一・一般化する枠組みを提示すること。

提案手法

• 構造群作用における不変性の性質を弱めた、主バンドルの一般化としての擬似主フレームバンドルの概念を導入する。
• 固定されたフラッグ部分多様体に対して、移動フレームの技法を用いて、各ファイバー上の第一段階の延長を定義する。これは、フラッグ幾何と線形化に関する先行研究に基づく。
• 第一段階のバンドルを拡張することで第二段階の延長を構成し、延長テンソル空間を、識別空間 $\mathcal{M}_{k+1}$ を含む直和に分解することにより実現する。
• フィルトレーションを保存する識別同型写像 $\mathrm{Id}_{\varphi_{k+1}}^{k+1}$ を用いて、ファイバーの接空間と順次ベクトル空間 $L^{k+1}$ 間の標準的同型を確立する。
• 記号代数 $\mathfrak{g}^\bullet$ の階数構造と非可換度 $\mu$ を用いて、延長がいつ停止するかを特定し、有限次の標準フレームが得られることを示す。
• 記号代数 $\mathfrak{g}^{\bar{l}} \neq 0$ だが $\mathfrak{g}^{\bar{l}+1} = 0$ である場合、$\bar{l}+\mu$ 階の延長バンドル $P^{\bar{l}+\mu}$ が $P^{\bar{l}+\mu-1}$ 上に標準フレームを定義することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラッグ構造の文脈において、主バンドルでない場合のTanaka延長手続きをどのように一般化できるか。
• RQ2 主性よりも弱いが、幾何構造の延長において標準フレーム構成を支えるのに十分な構造的性質は何か。
• RQ3 二重ファイブレーションおよびファイブレーションの線形化が、多様体上にどのようにフラッグ構造を生じさせるか。
• RQ4 延長プロセスがいつ停止し、フラッグ構造に対して標準フレームを生成するか。
• RQ5 提案された枠組みは、微分幾何学および偏微分方程式論における同値問題の既存のアプローチを、どのように統一・拡張するか。

主な発見

• 著者らは、主バンドルの一般化としての擬似主フレームバンドルを定義し、主バンドルでない場合でも延長が可能となるように弱めた不変性条件を満たすことを示した。
• 第一段階の延長では、フラッグ幾何と線形化に関する先行研究の技法を用いて、各ファイバー上の固定されたフラッグ部分多様体に対して標準的移動フレームが構成される。
• 第二段階の延長では、Tanakaの手法を一般化し、延長空間を直和に分解するための識別空間 $\mathcal{M}_{k+1}$ を導入することで、ファイバー間の標準的同型が可能になる。
• 空間 $L^{k+1}$ は、同型写像 $\mathrm{Id}_{\varphi_{k+1}}^{k+1}$ を用いて、$P^{k+1}$ から $P^k$ へのファイバーの接空間と標準的に同一視され、フィルトレーションが保存される。
• 記号代数 $\mathfrak{g}^\bullet$ が基本的であり、$\mathfrak{g}^{\bar{l}} \neq 0$ だが $\mathfrak{g}^{\bar{l}+1} = 0$ である場合、延長は $\bar{l} + \mu$ 階で停止し、ここで $\mu$ は非可換度である。
• $\bar{l} + \mu$ 階の延長バンドル $P^{\bar{l}+\mu}$ は、$P^{\bar{l}+\mu-1}$ 上に標準フレームを定義し、構成を完了させ、フラッグ構造の同値問題を解決する。