[論文レビュー] Proof of some conjectured formulas for 1/pi by Z.-W. Sun

Gert Almkvist, Alexander Aycock+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

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ひとこと要約

この論文は、Z.-W. Sunが提唱した $1/\pi$ の公式のいくつかを、Ramanujan型超幾何級数と新しい恒等式を結ぶ変換法によって証明する。一般化された変換公式を確立し、モジュラー不変量と超幾何関数を用いて既知の $1/\pi$ 級数を新たなものに変換する。$163$ や Ramanujan-Sato 級数を含む恒等式が証明される。

ABSTRACT

Recently Z.W.Sun found over hundred conjectured formulas for 1/pi. Many of them were proved by H.H.Chan, J.Wan andW.Zudilin (see [3], [8] in the paper). Here we show that several other formulas in [6] are simple transformations of known formulas for 1/pi.

研究の動機と目的

• Z.-W. Sun が提起した、大きな代数的数や類数 1 の判別式を含む $1/\pi$ の公式を証明すること。
• モジュラー関数と超幾何関数を介して、Ramanujan 働きの $1/\pi$ 級数と新たな恒等式を結ぶ一般化された変換フレームワークを確立すること。
• 例えば $262537412640769728$ を含む複雑に見える公式が、Chudnovsky の級数のような既知の級数の代数的変換であることを確認すること。
• 変換法を用いて、写像 $x \mapsto -x/(1-Mx)$ と微分方程式を用いて、既知の級数から新しい $1/\pi$ 恒等式を体系的に生成する方法を提供すること。
• 特定の発散級数における超合同式（例：$s=1/3$ の場合の $p^3$ での合同式）を確認し、それらを $1/\pi$ 恒等式と関連付けること。

提案手法

• 一般化された変換式を導出：$\sum_{n=0}^\infty A_n x^n = \frac{1}{\sqrt{1-Mx}} \sum_{n=0}^\infty a_n \left(-\frac{x}{1-Mx}\right)^n$ で、$A_n$ は超幾何和、$a_n$ は既知の Ramanujan 型係数。
• 既知の $1/\pi$ 級数 $\sum a_n (a + bn) x_0^n = \frac{1}{\pi}$ に変換を適用し、パラメータ $w_0$, $A$, $B$ を変換した新しい恒等式を生成する。
• 微分方程式を用いて等価性を検証：変換の両辺は同一の3階常微分方程式（ODE）を満たし、最初の4係数が一致することで恒等式が確認される。
• モジュラー関数と特異モジュラー値を用いる：$s=1/6, 1/3, 1/4$ の場合、パラメータ $M$ はそれぞれ $1728, 108, 256$ に対応し、類数 1 の $j$-不変量と関連する。
• 写像の対合性を応用：変換は自己逆であり、$a_n$ と $A_n$ の級数間を双方向に写像可能。
• 符号計算（Maple）を用いて、$s=1/6$ のような特定のケースで変換を検証し、微分方程式と初期項を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $163$ と $262537412640769728$ を含む「怪物級」の公式は、Chudnovsky の $1/\pi$ 級数の変換として導出可能か？
• RQ2 Ramanujan 型 $1/\pi$ 級数を、異なるパラメータと収束性を持つ新たな恒等式に写像する一般化された変換が存在するか？
• RQ3 Sun のリストに含まれる、代数的数や大きな分母を含む公式は、モジュラー不変性を介して既知の $1/\pi$ 級数から生じるか？
• RQ4 この変換法を用いて、$s=1/3$ の $p^3$-合同式のような超合同式を証明できるか？
• RQ5 特異モジュラー値と超幾何関数は、既知の級数から新しい $1/\pi$ 恒等式を生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $\sum_{n=0}^\infty A_n P(n) \frac{1}{262537412640769728^n} = \frac{13803981511092062440689}{\pi \sqrt{163}}$ は、$M=1728$ を用いた Chudnovsky の公式の変換である。
• $s=1/3$ の場合、$w_0 = 1/300, 1/1836, 1/8748, \dots$ の8つの新しい恒等式が得られ、すべて $\sum A_n (A+Bn) w_0^n = \frac{1}{\pi}$ を満たす。
• $s=1/4$ の場合、$\sum (1+8n)A_n \frac{1}{9^n} = \frac{9}{2\pi}$ やその双対 $\sum (1-n)A_n \left(\frac{8}{9}\right)^n = -\frac{9}{\pi}$ といった恒等式が生成される。
• $s=1/6$ の場合、$\tau_0 = \sqrt{7}i$ を用いた恒等式は $\sum (A + Bn) A_n w_0^n = \frac{1}{\pi}$ とその双対 $\sum (\hat{A} + \hat{B}n) A_n w_1^n = -\frac{7}{\pi}$ を導き、ここで $w_1 = \frac{1}{2} + \frac{171}{14450}\sqrt{1785}$ である。
• 変換法により超合同式が確認された：$\sum_{n=0}^{p-1} a_n (4+15n) \frac{1}{(-27)^n} \equiv 4p \binom{-3}{p} \mod p^3$ は Sun が予想したものである。
• 微分方程式による検証：両辺は $x=0$, $x=1/1728$, $x=\infty$ に正則な特異点をもつ同一の3階ODEを満たす。