[論文レビュー] Some new series for $1/π$ and related congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 13被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、中心二項係数と組合せ的和を含む、$1/\pi$ に関する新しい超幾何型級数と、関連する $p$-進合同式を提示する。代数的係数を伴う $1/\pi$ を得る無限級数恒等式を確立し、これらの級数と二次形式による素数の表現との間の深い関係を予想する。その根拠として、モジュラーおよび $p$-進合同式の証拠が提示される。

ABSTRACT

In this paper we prove some new series for $1/π$ as well as related congruences. We also raise several new kinds of series for $1/π$ and present some related conjectural congruences involving representations of primes by binary quadratic forms.

研究の動機と目的

• 組合せ的和および一般化超幾何関数を用いて、$1/\pi$ の新しい無限級数表現を導出すること。
• これらの級数の部分和に関する $p$-進合同式を確立し、素数の算術的性質と関連付けること。
• 級数の係数と二次形式による素数の表現との関係を調査すること。
• 級数に関連する多項式列の $q$-対数凸性に関する予想を提示し、動機づけを行うこと。
• 新しい生成関数と変換恒等式を導入することで、既知のラマヌジャン型級数を $1/\pi$ へ拡張すること。

提案手法

• 中心二項係数の積の対称和を含む形の母関数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{m^n} \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2(n-k)}{n-k}^2$ や類似の組合せ的畳み込みを分析することで、$1/\pi$ の新しい級数を導出する。
• 変換恒等式 $\binom{n}{k}(-1)^k a_k$ を用いて、異なる法における級数を関連付け、母関数の操作と二項係数の恒等式を応用する。
• 超幾何関数 $_2F_1$ 及びその積を用いて級数恒等式を表現・検証し、特に $\sqrt{3}/\pi$、$\sqrt{2}/\pi$、$1/\pi$ に対して有効である。
• 新しい $1/\pi$ 級数の族を生成するため、多項式 $p_n(x) = \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2(n-k)}{n-k} x^{n-k}$ を導入する。
• $p^2$ および $p^3$ を法とする $p$-進合同式を用いて、特に $p > 3$ の素数に対して予想を検証・動機づけする。
• MacMahon や Guo が得た既知の恒等式を活用し、$\binom{n}{k}\binom{n+2k}{2k}\binom{2k}{k}$ を含む和を、既知の立方和およびモジュラー形式に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的二項係数積の和を用いて、$1/\pi$ の新しい無限級数をどのように構成できるか？
• RQ2 部分和の $p$-進合同式は、二次形式による素数の表現の算術とどのように関係するか？
• RQ3 多項式 $p_n(x)$ の構造は、代数的係数を伴う新しい $1/\pi$ 級数の族を生成できるか？
• RQ4 変換 $a_n^* = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}(-1)^k a_k$ は、既知の級数から新しい級数を導出する際に果たす役割は何か？
• RQ5 部分和の $p^2$ や $p^3$ を法とする合同式は、どのような条件下で素数の類数や形式表現を反映するか？

主な発見

• 級数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{32^n} \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2(n-k)}{n-k}^2 = \frac{2}{\pi}$ が証明され、$\sqrt{3}/\pi$、$\sqrt{2}/\pi$、$1/\pi$ に対しても類似の恒等式が成立する。
• 奇素数 $p$ に対して、部分和 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{n}{32^n} \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}^2 \binom{2(n-k)}{n-k}^2 \equiv 0 \pmod{p^3}$ が成り立ち、他の級数に対しても $p^2$ を法とする類似の合同式が成立する。
• 恒等式 $\sum_{n=0}^\infty \frac{9n+2}{(-216)^n} \sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}\binom{3k}{k}\binom{2(n-k)}{n-k}\binom{3(n-k)}{n-k} = \frac{8}{\sqrt{3}\pi}$ が確立された。
• 級数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{128^n} \binom{2n}{n} p_n(4) = \frac{\sqrt{2}}{\pi}$ が証明され、ここで $p_n(4)$ は $n$ に関する特定の多項式である。
• 予想 4.5 では、$p > 5$ に対して、部分和 $\sum_{n=0}^{p-1} \frac{n \binom{2n}{n}}{3645^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\binom{n+2k}{2k}\binom{2k}{k} 486^{n-k} \equiv \frac{16p}{81}\left(\left(\frac{-1}{p}\right) - \left(\frac{5}{p}\right)\right) \pmod{p^2}$ が成り立つと提案する。
• 予想 4.6 では、$R_p^2 \equiv \frac{512(\frac{10}{p}) - 27(\frac{-15}{p}) - 475}{10} \pmod{p}$ が成り立ち、ここで $R_p$ は正規化された部分和であり、値がリーマン記号および $p$-進挙動と関連している。