[論文レビュー] Proof of the Kobayashi conjecture on the hyperbolicity of very general hypersurfaces

Jean-Pierre Demailly|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、指向代数幾何におけるジェット・セミ安定性の技法と一般化されたグリーン＝グリフィス＝ラング予想を用いて、$ \mathbb{P}^{n+1} $ 内の次元 $ n $、次数 $ d \geq 2n+2 $ の非常に一般な超曲面がコバヤシ超曲面的であることを示すことで、小林予想を証明する。主な結果は、このような超曲面すべてに対して超曲面的であることを確認し、一般の場合には $ 2n+2 $ が最適な境界であることを示している。

ABSTRACT

The Green-Griffiths-Lang conjecture stipulates that for every projective variety $X$ of general type over ${\mathbb C}$, there exists a proper algebraic subvariety of $X$ containing all non constant entire curves $f:{\mathbb C} o X$. Using the formalism of directed varieties, we prove here that this assertion holds true in case $X$ satisfies a strong general type condition that is related to a certain jet-semistability property of the tangent bundle $T\_X$. We then use this fact to confirm a long-standing conjecture of Kobayashi (1970), according to which a very general algebraic hypersurface of dimension $n$ and degree at least $2n+2$ in the complex projective space ${\mathbb P}^{n+1}$ is hyperbolic.

研究の動機と目的

• 複素射影空間内の非常に一般な超曲面のコバヤシ超曲面的性に関する長年の小林予想を確認すること。
• 指向射影多様体に対するグリーン＝グリフィス＝ラング予想の一般化を確立すること。
• このような超曲面内の整関数的曲線が代数的に退化している、すなわち適切な部分多様体に含まれることを示すこと。
• ある種のジェット・セミ安定性条件下で canonical sheaf $ K_V $ が大きいと、超曲面的であることを示すこと。
• 結果を超曲面の補集合へと拡張し、次数の境界を改善する可能性を検討すること。

提案手法

• 論文は、射影多様体 $ X $ とその接束 $ T_X $ の部分バンドル $ V \subset T_X $ からなる指向射影多様体 $ (X,V) $ の形式的枠組みを用い、$ V $ に接する整関数的曲線を研究する。
• ジェットバンドル理論と Semple ツリー構成を用いて、超曲面の普遍族の全空間の超曲面的性を分析する。
• 条件 $ \sum d_j \geq 2n + c + 1 $ の下で、$ q \geq N+1 $ のとき、$ \Lambda^q T^*_\mathcal{X} $ が切断によって生成され、相対的に ample であることを示す。
• ジェットバンドルの相対的アモーフィー性と退化点集合の解析を用いて、整関数的曲線の集合 $ \mathop{\rm ECL}(X,V) $ を制御する。
• クレメンス、アイン、ヴォイシンによる正則バンドルの正性および完全交差の幾何学に関する研究の技術を組み込む。
• 特に、次数 $ \geq 2n+2 $ の超曲面 $ Y \subset \mathbb{P}^{n+1} $ に対して $ \mathop{\rm ECL}(Y) = \emptyset $ が成り立つことを利用し、$ \mathbb{P}^n \setminus X $ の超曲面的性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素射影空間 $ \mathbb{P}^{n+1} $ 内の非常に一般な超曲面（次数 $ \geq 2n+2 $）に含まれるすべての整関数的曲線は、適切な代数的部分多様体に含まれるか？
• RQ2 グリーン＝グリフィス＝ラング予想は、canonical sheaf $ K_V $ が大きい指向多様体へと拡張可能か？
• RQ3 ジェット・セミ安定性の下で、このような指向多様体に対して $ \mathop{\rm ECL}(X,V) $ は空集合か？
• RQ4 小林予想における境界 $ 2n+2 $ は $ 2n+1 $ に改善可能であり、これが最適か？
• RQ5 $ X \subset \mathbb{P}^n $ が非常に一般な超曲面（次数 $ \geq 2n+2 $）であるとき、補集合 $ \mathbb{P}^n \setminus X $ に対してもコバヤシ超曲面的性が成り立つか？

主な発見

• 小林予想が確認された：$ \mathbb{P}^{n+1} $ 内の次数 $ d \geq 2n+2 $ の非常に一般な超曲面はコバヤシ超曲面的である。
• すべての $ n, c \geq 1 $ および $ \sum d_j \geq 2n + c + 1 $ を満たす次数に対して、$ \mathbb{P}^{n+c} $ 内の非常に一般な完全交差は代数的ジェット超曲面的であり、したがってコバヤシ超曲面的である。
• この結果は、このような超曲面に対して整関数的曲線の集合 $ \mathop{\rm ECL}(X,V) $ が空集合であることを意味し、非定数の整関数的曲線は存在しないことを示している。
• 証明により、$ q \geq N+2 $ のとき、ジェットバンドル $ \Lambda^q T^*_\mathcal{X} $ が相対的に ample であることが示され、超曲面的性に必要な正性が保証される。
• $ X \subset \mathbb{P}^n $ が次数 $ d \geq 2n+2 $ の非常に一般な超曲面であるとき、補集合 $ \mathbb{P}^n \setminus X $ はコバヤシ超曲面的である。
• 一般の場合には $ 2n+2 $ が最適な境界であり、$ d = 2n $ の場合にザイデンベルクの反例によってそれが示されている。