[論文レビュー] Propagation of chaos for mean field rough differential equations

Ismaël Bailleul, Rémi Catellier+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的粗いパスによって駆動される平均場粗い確率微分方程式に対する混沌の伝播を確立し、大規模な相互作用粒子系の経験分布が非線形平均場SDEの解に収束することを証明する。粗いパスの枠組みとSznitmanにインspiredされたカップリング論法を用いて、$ n^{-1/2} $ 階の明示的な最適収束速度が得られ、伊藤積分の枠組みを超えて、拡散係数に平均場的相互作用を含む粗い確率微分方程式へ古典的結果の拡張がなされた。

ABSTRACT

We address propagation of chaos for large systems of rough differential equations associated with random rough differential equations of mean field type $$ dX_t = V(X_t,\mathcal{L}(X_t))dt + F(X_t,\mathcal{L}(X_t))dW_t $$ where $W$ is a random rough path and $\mathcal{L}(X_t)$ is the law of $X_t$. We prove propagation of chaos, and provide also an explicit optimal convergence rate. The analysis is based upon the tools we developed in our companion paper [1] for solving mean field rough differential equations and in particular upon a corresponding version of the Itô-Lyons continuity theorem. The rate of convergence is obtained by a coupling argument developed first by Sznitman for particle systems with Brownian inputs.

研究の動機と目的

• 拡散係数が解の分布に依存する平均場粗い確率微分方程式に対する混沌の伝播を確立し、古典的伊藤積分の枠組みを超えて拡張する。
• 対応する平均場方程式の解への $ n $ 粒子系の経験測度の収束速度を厳密に提供する。
• 粗いパス理論の適用範囲を、拡散係数に非線形的相互作用を含む平均場モデルへ拡張する。
• カップリングに基づく議論を用いて最適収束速度を導出し、Sznitmanの手法を粗いパスの文脈へ一般化する。

提案手法

• 平均場粗い確率微分方程式に適応されたイト＝ライオンズ連続性定理のバージョンを用いて、経路ごとの一意性と安定性を保証する。
• 解の分布に依存する非線形性を扱うために、Lionsの Wasserstein 空間上での微分法を用いる。
• $ n $ 粒子系と平均場極限を比較するためのカップリング論法を採用し、モーメントの有界性と粗いパスの $ p $-変動を活用する。
• 重み付きノルムを制御する粗いパスの空間における不動点議論により解を構成し、$ \mathbb{L}^\varrho $-ノルムでの収束を保証する。
• 駆動信号の反復積分を含む強化粗いパスを用いて、経路ごとの方法で粗い確率微分方程式を定義する。
• モーメント推定と Wasserstein 距離を用いて、経験測度と解の分布との差を推定することで収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n \to \infty $ のとき、$ n $ 個の相互作用する粗い確率微分方程式系の経験測度は、平均場粗いSDEの解に収束するか？
• RQ2 粗いパスの文脈において、このような混沌の伝播の最適収束速度は何か？
• RQ3 Sznitmanのカップリング手法は、平均場的相互作用を伴う粗い確率微分方程式の文脈で収束速度を導出するために適応可能か？
• RQ4 拡散係数が解の分布に依存することは、適切な定義可能性および混沌の伝播にどのように影響するか？
• RQ5 係数および駆動粗いパスに対してどのような正則性仮定が、混沌の伝播が成立するかの条件下に成立するか？

主な発見

• 拡散係数が解の分布に一般な非線形依存性を示す平均場粗い確率微分方程式に対して、混沌の伝播が成立する。
• $ n $ 粒子系から平均場極限への収束速度が $ n^{-1/2} $ 階で最適であることが証明された。
• 任意の $ \varrho \geq 1 $ に対して $ \mathbb{L}^\varrho $-ノルムで収束が確立され、明示的なモーメント有界性が得られた。
• Sznitmanの手法を粗いパスの文脈へ拡張したカップリング論法に依拠しており、精度の高い収束速度推定が可能になった。
• イト＝ライオンズ定理の粗いパス版に基づく解析により、平均場方程式の安定性および経路ごとの一意性が保証された。
• 解およびその経験的近似に対して一様なモーメント推定を導出し、収束速度解析に不可欠な役割を果たした。