[論文レビュー] Propagation of epistemic uncertainty in queueing models with unreliable server using chaos expansions

Katia Bachi, Cédric Chauvière+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 47被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、障害を起こすサーバーを備えた不安定なキューイングシステム、特にM/M/1およびM/G/1モデルにおける認識的不確実性を定量化・伝播させるための多項式クラウド展開（PCE）に基づく手法を提案する。定常分布を直交多項式における確率的展開として表現することで、統計的モーメントおよびソボルの感度インデックスを効率的に計算し、モンテカルロ・シミュレーションに比べ優れた収束性を示し、閾値に基づく回復戦略を採用するM/M/1/Nシステムにおいて、到着率λが不確実性の主な要因であることが特定された。

ABSTRACT

In this paper, we develop a numerical approach based on Chaos expansions to analyze the sensitivity and the propagation of epistemic uncertainty through a queueing systems with breakdowns. Here, the quantity of interest is the stationary distribution of the model, which is a function of uncertain parameters. Polynomial chaos provide an efficient alternative to more traditional Monte Carlo simulations for modelling the propagation of uncertainty arising from those parameters. Furthermore, Polynomial chaos expansion affords a natural framework for computing Sobol' indices. Such indices give reliable information on the relative importance of each uncertain entry parameters. Numerical results show the benefit of using Polynomial Chaos over standard Monte-Carlo simulations, when considering statistical moments and Sobol' indices as output quantities.

研究の動機と目的

• 入力パラメータに関する限られたデータから、障害を起こすサーバーを有するキューイングシステムにおける認識的不確実性を定量化するための数値フレームワークを開発すること。
• 到着率や故障率などの主要パラメータにおける不確実性が、システムの定常分布にどのように伝播するかを分析すること。
• ソボルのインデックスを用いた効率的な感度分析により、性能指標におけるパラメータの重要度をランク付けすること。
• 不確実性伝播のための多項式クラウド展開と標準的なモンテカルロ・シミュレーションの間で、計算効率および正確性を比較すること。
• 2つのキューイングモデル、すなわち障害を伴うM/G/1/Nおよび閾値に基づく回復ポリシーを採用するM/M/1/Nに対して、手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 不確実な入力パラメータθの関数として定常分布πθを表現するため、直交多項式基底における一般化された多項式クラウド展開（PCE）を用いる。
• 四則点における埋め込まれたジャンプ連鎖方程式を解くことで、スムージング・コロケーションまたはガラーキン射影を用いてPCE係数を計算する。
• PCE係数から直接的に定常分布の統計的モーメント（平均、分散、歪度、尖度）を計算する。
• PCE分解からソボルのインデックスを導出し、個々の入力パラメータおよびその組み合わせが出力分散に与える寄与度を定量化する。
• 収束性および正確性を評価するために、多数のサンプルを用いたモンテカルロ・シミュレーションと照合して結果を検証する。
• 有限バッファおよびサーバーの故障を伴うM/M/1/NおよびM/G/1/Nキューイングモデルに対して、数値実験を実施する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 入力パラメータ（例えば、到着率、故障率）における認識的不確実性が、障害を起こすキューイングシステムの定常分布にどのように伝播するか。
• RQ2 サーバーの故障を伴うキューイングシステムにおいて、どの入力パラメータが定常分布に最も顕著な影響を及ぼすか。
• RQ3 統計的モーメントおよび感度インデックスの計算において、多項式クラウド展開がモンテカルロ・シミュレーションに比べてどれほど収束速度および正確性で優れているか。
• RQ4 高次ソボルのインデックスと一次インデックスを比較することで、パラメータ間の相互作用が存在するかどうかを示す。
• RQ5 他のパラメータを平均値に固定した上で、最も影響力のあるパラメータのみを確率変数として扱うことで、システムを正確にモデル化できるか。

主な発見

• M/M/1/Nキューイングシステムにおいて、閾値に基づく回復ポリシーを採用した場合、到着率λが最も影響力のあるパラメータであり、一次ソボルのインデックスが他のパラメータよりも顕著に高いことが特定された。
• 高次ソボルのインデックスは無視できるほど小さく、パラメータ間の相互作用が出力分散にほとんど影響しないことを示しており、総合インデックスは一次インデックスに非常に近い値を示した。
• λのみを確率変数として扱い、他のパラメータを平均値に固定した場合、すべての4つのパラメータを確率変数として扱った場合と比較して、定常分布の統計的モーメント（平均、分散、歪度、尖度）が非常に近い値となった。
• PCEに基づく手法は、モンテカルロ・シミュレーションに比べて著しく高速な収束性を示し、1パラメータおよび4パラメータのランダムケースにおいて、表13～16の結果が一致することで、統計的モーメントの推定が正確に行われたことが裏付けられた。
• すべての4つのパラメータをランダムにした場合、分散推定値がわずかに上昇した（例：π₀₀の分散は14.711×10⁻⁶から25.338×10⁻⁶に上昇）ことから、不確実性の伝播が確認された。
• 本手法は、成分ごとに尖度が3に非常に近い値（正規分布に類似）を示しており、不確実性下での出力分布が安定していることを示しており、ロバストで効率的な性能を示した。