[論文レビュー] Proper classes and Gorensteinness in extriangulated categories

Jiangsheng Hu, Dongdong Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、拡張三角カテゴリにおける$\mathbb{E}$-三角形の適切なクラスの概念を導入し、exactカテゴリおよび三角カテゴリを一般化する新しい拡張三角構造を構成する。$\xi$-Gorenstein射影的対象を定義し、Hoveyの双対コツールスペアを用いて適切なモデル構造を確立する。これは、三角カテゴリおよび加群カテゴリにおける既知の結果を一般化する。

ABSTRACT

Extriangulated categories were introduced by Nakaoka and Palu as a simultaneous generalization of exact categories and triangulated categories. A notion of proper class in an extriangulated category is defined in this paper. Let $\mathcal{C}$ be an extriangulated category and $ξ$ a proper class in $\mathcal{C}$. We prove that $\mathcal{C}$ admits a new extriangulated structure. This construction gives extriangulated categories which are neither exact categories nor triangulated categories. Moreover, we introduce and study $ξ$-Gorenstein projective objects in $\mathcal{C}$ and demonstrate that $ξ$-Gorenstein projective objects share some basic properties with Gorenstein projective objects in module categories or in triangulated categories. In particular, we refine a result of Asadollahi and Salarian [Gorenstein objects in triangulated categories, J. Algebra 281(2004), 264-286]. As an application, the $ξ$-$\mathcal{G}$projective model structures on extriangulated categories are obtained.

研究の動機と目的

• 拡張三角カテゴリにおける$\mathbb{E}$-三角形の適切なクラスを定義・研究し、exactおよび三角構造を一般化する。
• 拡張三角カテゴリにおける$\xi$-Gorenstein射影的対象を導入し、そのホモロジー的性質を調査する。
• Hoveyの双対コツールスペアを用いて、拡張三角カテゴリ上に適切なモデル構造を確立する。
• 既知のGorenstein射影的対象に関する結果を、三角カテゴリおよび加群カテゴリからより広範な拡張三角カテゴリの設定に一般化する。

提案手法

• 拡張三角カテゴリ$\mathcal{C}$における$\mathbb{E}$-三角形の適切なクラス$\xi$を定義し、同型に関して閉じており、正確性公理を満たすように保証する。
• 元の拡張三角構造を$\xi$に制限することで、新しい拡張三角構造$(\mathcal{C}, \mathbb{E}_\xi, \mathfrak{s}_\xi)$を構成し、それが拡張三角カテゴリの公理を満たすことを証明する。
• $\xi$-射影的分解が微分の核内にある$\xi$-射影的項を持つ対象として、$\xi$-Gorenstein射影的対象を定義する。
• $\xi$-Gorenstein射影的対象が、特定の次数を超えて$\mathbb{E}_\xi$-拡張が消えるといった、重要なホモロジー的性質を満たすことを確立する。
• ペア$((\mathcal{P}(\xi), \mathcal{C}), (\mathcal{GP}(\xi), \mathcal{P}^{\leq n}(\xi)))$がHoveyの双対コツールスペアをなすことを証明し、これにより適切なモデル構造を導く。
• 有限$\xi$-Gorenstein射影的次元とそのようなモデル構造の存在との同値性を用いて、主要定理を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 拡張三角カテゴリにおいて、その結果の構造が依然として拡張三角カテゴリのままであるような$\mathbb{E}$-三角形の適切なクラスを定義できるか。
• RQ2 $\xi$-Gorenstein射影的対象のホモロジー的性質は何か。また、古典的なGorenstein射影的対象とどのように関係しているか。
• RQ3 適切なクラス$\xi$を備えた拡張三角カテゴリ上に、適切なモデル構造が存在する条件は何か。
• RQ4 $\xi$-Gorenstein射影的次元は、Hoveyの双対コツールスペアおよび適切なモデル構造の存在とどのように関係しているか。
• RQ5 三角カテゴリおよび加群カテゴリにおけるGorenstein射影的対象に関する既知の結果は、拡張三角カテゴリというより一般的な設定にどの程度まで一般化できるか。

主な発見

• 適切なクラス$\xi$を備えたカテゴリ$\mathcal{C}$は、新しい拡張三角構造$(\mathcal{C}, \mathbb{E}_\xi, \mathfrak{s}_\xi)$を備える。この構造は、必ずしもexactでも三角でもない。
• $\xi$-Gorenstein射影的対象のクラス$\mathcal{GP}(\xi)$は適切に定義されており、加群カテゴリおよび三角カテゴリにおけるGorenstein射影的対象と同様の重要なホモロジー的性質を共有する。
• ペア$((\mathcal{P}(\xi), \mathcal{C}), (\mathcal{GP}(\xi), \mathcal{P}^{\leq n}(\xi)))$がHoveyの双対コツールスペアをなすのは、$\mathcal{C}$のすべての対象についての$\xi$-Gorenstein射影的次元の上限が$n$以下であるときかつそのときに限る。
• 適切なモデル構造が$(\mathcal{C}, \mathbb{E}_\xi, \mathfrak{s}_\xi)$上に存在するのは、$\sup\{\xi\text{-} \mathcal{G}{\rm pd}A \mid A \in \mathcal{C}\} \leq n$であるときかつそのときに限る。
• AsadollahiとSalarianによる三角カテゴリにおけるGorenstein対象に関する定理を、拡張三角カテゴリに一般化することで、より精緻な結果を得た。
• この構成により、exactでも三角でもない新しいクラスの拡張三角カテゴリが得られ、相対ホモロジー代数の範囲が拡張された。